高中数学 新人教A版必修5 等比数列课件

(共43张PPT)
等比数列
复习：
(1)什么叫等差数列
(2) 等差数列的通项公式是什么
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
an=a1+(n-1)d
(3)在等差数列{an}中，若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），则
am+an= ap+ aq
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
(6)
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
观察这些数列有哪些特点
这就是说，这些数列具有这样的共同特点：
从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
等差数列 的通项公式为
当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列
的前n项和
当公差d=0时， ，
当d≠0时， ,
是关于n的二次函数且常数项为0.
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
或
特点：
1、 “从第二项起”与“前一项”之比
为常数q
2、 隐含：任一项
且
3、
时，
为常数列
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81，243，…
(3)
(6)
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=2 递增数列
公比 q=3 递增数列
公比 d= x
公比 q=1 非零常数列
公 比q= -1 摆动数列
因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。
公比 q= 递减数列
考考你
由常数
所组成的数列
一定为等比数列吗
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起，第二项与它前一项的比将没有意义，故非零常数列才是等比数列。
因此，常数列一定是等差数列,但但不一定是等比数列.
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
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●
●
●
数列：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
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●
●
●
●
●
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
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●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
●
●
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●
●
●
…
q
a
a
1
2
=
2
1
2
3
q
a
q
a
a
=
=
3
1
3
4
q
a
q
a
a
=
=
1
1
1
-
-
=
=
n
n
n
q
a
q
a
a
不完全归纳法
连乘法
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为：
m
n
m
q
a
-
=
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列
2、那么q>1或0a1>0,数列为递增；
a1<0,数列为递减；
00,数列为递减；
a1<0,数列为递增；
q>1,
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
例:求下列等比数列的第4，5项：
（2）1.2，2.4，4.8，…
（1） 5，-15，45，…
例:一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
用 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
解得
因此，
答：这个数列的第1项与第2项分别是
解:
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
例:培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
解：
由于每代的种子数是它的
前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成
等比数列，记为
答：到第5代大约可以得到
这种新品种的种子 粒.
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：
将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依(1-x)为的公比等比数列 ，
由已知条件，有
因此，
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
设平均每次降价的百分率是x，
那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.
若原价格为a，则降价x后的价格应为
a-ax=a(1-x)
练习:求下列数列的公比和通项：
①1.2，2.4，4.8…
②-27，9，-3，1…
③5，25，125,625…
④2/3，1/2，3/8…
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9
（2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3
（4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
因此，
如果G是a与b的等比中项，那么
，即
成等差数列时，
成等比数列,且
1、
公比为的q等比数列中，
等比数列的性质：
例:在等比数列{an}中
若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5.
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
关 系 式
性 质
中 项
构造三数
构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a, aq, aq2
a-d，a，a+d
或
或
a-3d，a-d，a+d， a+3d
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
m+n=s+t an+am=as+at
m+n=s+t anam=asat
例: 有四个数，其中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，并
且第一个数与第四个数的和是21，第二个数与第三个数的和是18，求这四个数。
判断或证明数列 是否为等比数列,一般是先求出通项公式,再判断或证明,判断证明的方法主要有以下四种:
练习：已知{an}为等比数列，
(1) a5=2, a9=8, 求a7= ___
(2) a5=2,a10=10,则a15=_____
(3)a1=1/8, q=2,a4与a8的等比中项_____
(4) a6=3, 则a3a4a5a6a7a8a9=____
(5) a4a15= -2, 则a3a6a12a17=_____
(6) a9 a10 a11 a12=64, 则 a8 a13= ____
小结：
1、定义:
2、通项公式:
m
n
m
q
a
-
=