【同步提优常题专训】17.1 勾股定理（含解析）
文档属性
| 名称 | 【同步提优常题专训】17.1 勾股定理（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 556.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 14:40:02 | ||
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文档简介
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2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提优常考题专训
第十七章
勾股定理
17.1
勾股定理
一．选择题
1．（2019秋?兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
A．
B．13
C．6
D．25
2．（2020春?晋中月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50
B．16
C．25
D．41
3．（2020春?晋中月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（ ）
A．5
B．8
C．
D．
4．（2020秋?明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4
B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7
D．xy＝24
5．（2020秋?江干区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．3
B．5
C．
D．6
6．（2019?滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m﹣1，﹣m﹣）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．3
D．4
7．（2015春?苍溪县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
二．填空题
8．（2020秋?皇姑区期末）等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为
．
9．（2020秋?兴化市月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为
时，△BCP为等腰三角形．
10．（2020秋?碑林区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，Q是△ABC边上的动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，当经过
秒时△BCQ为等腰三角形．
11．（2020春?潮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为
．
12．（2020秋?武侯区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为ts，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是
s．
13．（2020秋?武侯区校级月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形E的面积是
．
14．（2020春?南岗区校级月考）如图：已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，点E为线段CB的延长线上一点，且点E到CD的距离为6，连接AE，若DC＝6，AE＝5，且AD＜CD，则AD的长为
．
15．（2019秋?上城区期末）已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为
．
三．解答题
16．（2019秋?郫都区期末）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长DE至点F，使EF＝DE．连接AF．
（1）求证：DE＝AB；
（2）求证：AF∥BE；
（3）当AC＝BC时，连接AE，求证：AE2+DE2＝AD2．
17．（2020秋?青羊区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
18．（2020秋?宁化县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．
19．（2020秋?新城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，求△ABC的面积．
20．（2020秋?山西月考）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．
（1）求出AC的长和BD的长．
（2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？
21．（2020秋?和平区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．
22．（2020秋?法库县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．
（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；
（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．
23．（2020春?安庆期末）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
24．（2020秋?长清区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13，
∵S△ABC＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），
∴h＝．
故选：A．
2．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．
3．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
如图1，当AB＝BP＝5cm时，t＝5；
如图2，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，
∴t＝8；
如图3，当BP＝AP时，设AP＝BP＝xcm，
则CP＝（4﹣x）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x＝，
∴t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝，
当t＝时，△ABP不是等腰三角形，
故选：C．
4．【解答】解：根据题意可得：x2+y2＝25，
∵（x+y）2＝49，故B错误，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
5．【解答】解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
6．【解答】解：由两点间的距离公式可知：PM2＝（m﹣1）2+（﹣m﹣﹣2）2＝（m+）2+16，
∵＞0，
∴当m＝﹣时，PM2最小．
故选：B．
7．【解答】解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDA＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝6，
故选：C．
二．填空题
8．【解答】解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝2﹣2，
综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．
9．【解答】解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴PB＝AB，即5﹣2t＝，
解得：t＝，
②PB＝BC，
即5﹣2t＝3，
解得：t＝1，
③PC＝BC，
如图3，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm）．
∵S△ABC＝×AB×CD，
∴CD＝＝，
∴BD＝＝，
∵PC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝BP，
∴＝×（5﹣2t），
解得：t＝，
∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．
故答案为：1或或．
10．【解答】解：（1）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5（秒）．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6（秒）．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝4.8（cm），
∴CE＝＝3.6（cm），
∴CQ＝2CE＝7.2（cm），
∴BC+CQ＝13.2（cm），
∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）．
（2）当点Q在边BA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有一种情况，如图4所示，
则BC+CA+AQ＝6+10+2＝18（cm），
∴t＝18÷2＝9（秒）．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒或9秒时，△BCQ为等腰三角形．
故答案为：5.5或6或6.6或9．
11．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
12．【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm．
分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5（秒）．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6（秒）．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm），
∴CE＝＝3.6（cm），
∴CQ＝2CE＝7.2（cm），
∴BC+CQ＝13.2（cm），
∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）．
由上可知，当运动时间为5.5或6或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
故答案为：5.5或6或6.6．
13．【解答】解：正方形A、B、C、D的面积分别是2，3，5，4，
由勾股定理得，正方形G的面积为：2+3＝5，
正方形H的面积为：5+4＝9，
则正方形E的面积为：5+9＝14，
故答案是：14．
14．【解答】解：如图，连接AC，过点E作EH⊥CD于H，作ET⊥DA，交DA的延长线于T，过点C作CR⊥TE，交TE的延长线于R，
∵∠DTE＝∠EHD＝∠HDT＝90°，
∴四边形EHDT是矩形，
∴EH＝DT＝6，
∵CD＝6，
∴DT＝CD，
∵∠R＝∠T＝∠CDT＝90°，
∴四边形CDTR是矩形，
∵DC＝DT，
∴四边形CDTR是正方形，
延长TD到K，使得DK＝RE，连接CK．
∵RC＝DC，RE＝DK，∠ERC＝∠CDK＝90°，
∴△CRE≌△CDK（SAS），
∴CE＝CK，∠ECR＝∠DCK，
∴∠RCD＝∠ECK＝90°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠BDA＝∠BDC＝45°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACK＝45°，
∵CA＝CA，
∴△CAE≌△CAK（SAS），
∴AE＝AK＝AD+DK＝AD+ER＝5
设AD＝x，则ER＝5﹣x，ET＝6﹣（5﹣x）＝1+x，AT＝6﹣x，
在Rt△AET中，则有52＝（6﹣x）2+（1+x）2，
解得x＝2或3（舍弃），
∴AD＝2．
故答案为2．
15．【解答】解：如图1中，当点P与B重合时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝AB?sin60°＝6×＝3．
如图2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，QA＝QB，△ABQ是等腰三角形，此时∠PCD＝∠PCQ＝15°，
在CD上取一点J，使得JC＝PJ，则∠JPC＝∠JCP＝15°，
∴∠PJD＝∠JPC+∠JCP＝30°，设PD＝x，则DJ＝x．PJ＝CP＝2x，
∴x+2x＝3，
∴x＝6﹣3，
∴PD＝6﹣3．
如图3中，当点Q落在直线BD上时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝CD?tan30°＝．
如图4中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，∠DCP∠PCQ＝75°，可得∠CPJ＝15°，
在PD上取一点J，使得JC＝JP，同法可得∠DJC＝30°，DJ＝3，CJ＝JP＝6，
∴PD＝DJ+JP＝3+6，
综上所述，满足条件的PD的值为3或6﹣3或或3+6．
三．解答题
16．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴DE＝AB；
（2）∵DC＝AC，DE＝EF，
∴CE是△DAF的中位线，
∴AF∥BE；
（3）∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝BC＝CE，
∴△BAE是直角三角形，
∴AB2+AE2＝BE2，
∵AB＝DE，AD＝2AC＝2BC＝BE，
∴AE2+DE2＝AD2．
17．【解答】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
18．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB＝＝20，AC＝＝13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54，即△ABC的周长是54．
19．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，如图所示：
设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
∴142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，
解得：x＝，
此时AD2＝142﹣（）2＝（）2，
∴AD＝，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×15×＝84．
20．【解答】解：（1）因为∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
所以AC2＝162+122＝400，
所以AC＝20cm．
因为，
所以．
（cm），
（2）当点P在线段CA上时，，
所以，
此时t＝7.5；
当点P在线段AB上时，，
所以BP＝6，
此时t＝30，
所以当t为或30时，△PBC的面积为36cm2．
21．【解答】解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10，
在△BCD中，
∵DC2+BD2＝100+576＝676，BC2＝262＝676，
∴DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24+×6×8＝96（cm2）．
22．【解答】解：（1）在△ABC中，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝72°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠DCB＝90°﹣72°＝18°；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，
∴AC＝AB＝10．
设BD＝x，则AD＝10﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．
在Rt△BCD中，
∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，
∴BC＝＝2．
23．【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
24．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6
cm，
∴AD＝10﹣6＝4
cm．
设PC＝x
cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或
10.8s
时△BCP为等腰三角形．
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2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提优常考题专训
第十七章
勾股定理
17.1
勾股定理
一．选择题
1．（2019秋?兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
A．
B．13
C．6
D．25
2．（2020春?晋中月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50
B．16
C．25
D．41
3．（2020春?晋中月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（ ）
A．5
B．8
C．
D．
4．（2020秋?明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4
B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7
D．xy＝24
5．（2020秋?江干区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．3
B．5
C．
D．6
6．（2019?滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m﹣1，﹣m﹣）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．3
D．4
7．（2015春?苍溪县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
二．填空题
8．（2020秋?皇姑区期末）等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为
．
9．（2020秋?兴化市月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为
时，△BCP为等腰三角形．
10．（2020秋?碑林区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，Q是△ABC边上的动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，当经过
秒时△BCQ为等腰三角形．
11．（2020春?潮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为
．
12．（2020秋?武侯区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为ts，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是
s．
13．（2020秋?武侯区校级月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形E的面积是
．
14．（2020春?南岗区校级月考）如图：已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，点E为线段CB的延长线上一点，且点E到CD的距离为6，连接AE，若DC＝6，AE＝5，且AD＜CD，则AD的长为
．
15．（2019秋?上城区期末）已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为
．
三．解答题
16．（2019秋?郫都区期末）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长DE至点F，使EF＝DE．连接AF．
（1）求证：DE＝AB；
（2）求证：AF∥BE；
（3）当AC＝BC时，连接AE，求证：AE2+DE2＝AD2．
17．（2020秋?青羊区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
18．（2020秋?宁化县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．
19．（2020秋?新城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，求△ABC的面积．
20．（2020秋?山西月考）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．
（1）求出AC的长和BD的长．
（2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？
21．（2020秋?和平区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．
22．（2020秋?法库县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．
（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；
（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．
23．（2020春?安庆期末）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
24．（2020秋?长清区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13，
∵S△ABC＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），
∴h＝．
故选：A．
2．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．
3．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
如图1，当AB＝BP＝5cm时，t＝5；
如图2，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，
∴t＝8；
如图3，当BP＝AP时，设AP＝BP＝xcm，
则CP＝（4﹣x）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x＝，
∴t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝，
当t＝时，△ABP不是等腰三角形，
故选：C．
4．【解答】解：根据题意可得：x2+y2＝25，
∵（x+y）2＝49，故B错误，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
5．【解答】解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
6．【解答】解：由两点间的距离公式可知：PM2＝（m﹣1）2+（﹣m﹣﹣2）2＝（m+）2+16，
∵＞0，
∴当m＝﹣时，PM2最小．
故选：B．
7．【解答】解：∵AB＝AC＝10，CD＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDA＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝6，
故选：C．
二．填空题
8．【解答】解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝2﹣2，
综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．
9．【解答】解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴PB＝AB，即5﹣2t＝，
解得：t＝，
②PB＝BC，
即5﹣2t＝3，
解得：t＝1，
③PC＝BC，
如图3，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm）．
∵S△ABC＝×AB×CD，
∴CD＝＝，
∴BD＝＝，
∵PC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝BP，
∴＝×（5﹣2t），
解得：t＝，
∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．
故答案为：1或或．
10．【解答】解：（1）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5（秒）．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6（秒）．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝4.8（cm），
∴CE＝＝3.6（cm），
∴CQ＝2CE＝7.2（cm），
∴BC+CQ＝13.2（cm），
∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）．
（2）当点Q在边BA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有一种情况，如图4所示，
则BC+CA+AQ＝6+10+2＝18（cm），
∴t＝18÷2＝9（秒）．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒或9秒时，△BCQ为等腰三角形．
故答案为：5.5或6或6.6或9．
11．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
12．【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm．
分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5（秒）．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6（秒）．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm），
∴CE＝＝3.6（cm），
∴CQ＝2CE＝7.2（cm），
∴BC+CQ＝13.2（cm），
∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）．
由上可知，当运动时间为5.5或6或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
故答案为：5.5或6或6.6．
13．【解答】解：正方形A、B、C、D的面积分别是2，3，5，4，
由勾股定理得，正方形G的面积为：2+3＝5，
正方形H的面积为：5+4＝9，
则正方形E的面积为：5+9＝14，
故答案是：14．
14．【解答】解：如图，连接AC，过点E作EH⊥CD于H，作ET⊥DA，交DA的延长线于T，过点C作CR⊥TE，交TE的延长线于R，
∵∠DTE＝∠EHD＝∠HDT＝90°，
∴四边形EHDT是矩形，
∴EH＝DT＝6，
∵CD＝6，
∴DT＝CD，
∵∠R＝∠T＝∠CDT＝90°，
∴四边形CDTR是矩形，
∵DC＝DT，
∴四边形CDTR是正方形，
延长TD到K，使得DK＝RE，连接CK．
∵RC＝DC，RE＝DK，∠ERC＝∠CDK＝90°，
∴△CRE≌△CDK（SAS），
∴CE＝CK，∠ECR＝∠DCK，
∴∠RCD＝∠ECK＝90°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠BDA＝∠BDC＝45°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACK＝45°，
∵CA＝CA，
∴△CAE≌△CAK（SAS），
∴AE＝AK＝AD+DK＝AD+ER＝5
设AD＝x，则ER＝5﹣x，ET＝6﹣（5﹣x）＝1+x，AT＝6﹣x，
在Rt△AET中，则有52＝（6﹣x）2+（1+x）2，
解得x＝2或3（舍弃），
∴AD＝2．
故答案为2．
15．【解答】解：如图1中，当点P与B重合时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝AB?sin60°＝6×＝3．
如图2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，QA＝QB，△ABQ是等腰三角形，此时∠PCD＝∠PCQ＝15°，
在CD上取一点J，使得JC＝PJ，则∠JPC＝∠JCP＝15°，
∴∠PJD＝∠JPC+∠JCP＝30°，设PD＝x，则DJ＝x．PJ＝CP＝2x，
∴x+2x＝3，
∴x＝6﹣3，
∴PD＝6﹣3．
如图3中，当点Q落在直线BD上时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝CD?tan30°＝．
如图4中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，∠DCP∠PCQ＝75°，可得∠CPJ＝15°，
在PD上取一点J，使得JC＝JP，同法可得∠DJC＝30°，DJ＝3，CJ＝JP＝6，
∴PD＝DJ+JP＝3+6，
综上所述，满足条件的PD的值为3或6﹣3或或3+6．
三．解答题
16．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴DE＝AB；
（2）∵DC＝AC，DE＝EF，
∴CE是△DAF的中位线，
∴AF∥BE；
（3）∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝BC＝CE，
∴△BAE是直角三角形，
∴AB2+AE2＝BE2，
∵AB＝DE，AD＝2AC＝2BC＝BE，
∴AE2+DE2＝AD2．
17．【解答】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
18．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB＝＝20，AC＝＝13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54，即△ABC的周长是54．
19．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，如图所示：
设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
∴142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，
解得：x＝，
此时AD2＝142﹣（）2＝（）2，
∴AD＝，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×15×＝84．
20．【解答】解：（1）因为∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
所以AC2＝162+122＝400，
所以AC＝20cm．
因为，
所以．
（cm），
（2）当点P在线段CA上时，，
所以，
此时t＝7.5；
当点P在线段AB上时，，
所以BP＝6，
此时t＝30，
所以当t为或30时，△PBC的面积为36cm2．
21．【解答】解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10，
在△BCD中，
∵DC2+BD2＝100+576＝676，BC2＝262＝676，
∴DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24+×6×8＝96（cm2）．
22．【解答】解：（1）在△ABC中，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝72°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠DCB＝90°﹣72°＝18°；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，
∴AC＝AB＝10．
设BD＝x，则AD＝10﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．
在Rt△BCD中，
∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，
∴BC＝＝2．
23．【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
24．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6
cm，
∴AD＝10﹣6＝4
cm．
设PC＝x
cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或
10.8s
时△BCP为等腰三角形．
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