【同步提优常题专训】17.2 勾股定理的逆定理（含解析）

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2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提优常考题专训
第十七章
勾股定理
17.2
勾股定理的逆定理
一．选择题
1．（2020秋?太原期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2
D．a：b：c＝3：4：5
2．（2020秋?大东区期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．5，11，12
B．3，4，5
C．4，6，8
D．6，12，13
3．（2020春?荔湾区校级期末）以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4
B．1，1，
C．5，12，17
D．6，8，12
4．（2020秋?山西月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米
B．米
C．2米
D．4米
5．（2020秋?青羊区校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（　　）
A．13
B．17
C．18
D．25
6．（2020秋?未央区期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　）
A．9海里
B．10海里
C．11海里
D．12海里
7．（2019春?寿县期末）在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为（　　）
A．1，，7
B．1，，
C．1，
D．1，3，
二．填空题
8．（2020春?荔湾区月考）若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　
　．
9．（2019秋?市南区期末）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是　
　分钟．
10．（2019秋?郫都区期末）东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？　
　．
11．（2020春?南岗区校级月考）一架长为5米的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离C处3米，如果梯子顶端沿墙下滑1米，梯子的底端沿水平方向滑动　
　米．
12．（2020秋?金牛区校级月考）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为　
　秒．
13．（2020秋?成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值　
　，h的最大值　
　．
14．（2020秋?太原期中）《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程　
　．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
15．（2014秋?招远市期中）小明家有一块如图所示的地，其中阴影部分是两个正方形，其他的是两个直角三角形和一个正方形，大直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为34米，30米，小明家打算在阴影部分的土地上种花生，则种花生的面积为　
　米2．
16．（2012春?东平县期中）已知△ABC≌△DEF，若△ABC的各边长分别是5、12、13，△DEF的最大角的度数是　
　．
17．（2017春?北京期中）填空：请用文字语言叙述勾股定理的逆定理：　
　．
三．解答题
18．（2020春?海珠区校级期中）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求线段AB的长；
（2）求∠ABC的度数．
19．（2020春?荔湾区月考）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？
20．（2020秋?朝阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，求此四边形ABCD的面积．
21．（2020秋?宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
22．（2013春?越秀区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．
23．（2020秋?梅列区校级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝．
（1）求AD＝　
　；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
24．（2020?新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．
（1）判定
按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（　　）
A.1，2，3；B.1，，2；C.1，，3；D.3，4，5．
（2）性质
求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．
（3）应用
如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．
25．（2019秋?市南区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度．
26．（2020春?蔡甸区期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
27．（2020春?太湖县期末）如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．【解答】解：A、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选：B．
3．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形；
B、12+12＝（）2，故是直角三角形；
C、52+122≠172，故不是直角三角形；
D、62+82≠122，故不是直角三角形．
故选：B．
4．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
5．【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
6．【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
7．【解答】解：如图1，当∠APB＝90°时，
∵AO＝BO，
∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝2，
∴AP＝AB?sin60°＝2×＝；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BP＝＝＝，
在直角三角形ABP中，
AP＝＝；
如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1，
故选：C．
二．填空题
8．【解答】解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
9．【解答】解：作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝60m，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．
10．【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
11．【解答】解：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，AC＝＝4米，
DC＝4﹣1＝3米．
在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，CE＝＝4米，
所以BE＝CE﹣CB＝1．
即梯子底端也滑动了1米．
故答案为：1．
12．【解答】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
13．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分＝＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
14．【解答】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
15．【解答】解：两个阴影正方形的面积和为342﹣302＝256（米2）．
故种花生的面积为256米2．
故答案为：256．
16．【解答】解：∵△ABC的各边长分别是5、12、13，
52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的最大角的度数是90°．
故答案为：90°．
17．【解答】解：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
故答案为：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形
三．解答题
18．【解答】解：（1）AB＝＝2；
（2）∵AC2＝42+32＝25，AB2＝（2）2＝20，BC2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
19．【解答】解：（1）∵AB＝2.5米，BC＝0.7米，
∴AC＝＝＝2.4（米）．
答：这个梯子的顶端距地面有2.4米；
（2）在Rt△CDE中，
∵CD＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），DE＝2.5米，
∴CE＝＝＝1.5（米），
∴BE＝CE﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了0.8米．
20．【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝25，
∵72+242＝252，
∴CD2+DA2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝×20×15+×7×24＝234．
21．【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
22．【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．
23．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：AD＝，
∵BD＝，
∴AB＝BD+AD＝+＝5，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．
24．【解答】解：（1）A、∵1+2＝3，
∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、当﹣d＝1，+d＝2，
得d＝1+，d＝2﹣，
∵1+≠2﹣，故B不符合题意；
C、∵1，
∴1，，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、当4﹣d＝3，4+d＝5，
得d＝1，
∵32+42＝52，
∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；
故选D．
（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，
∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，
化简得a2﹣4ad＝0，
∴a（a﹣4d）＝0，
∵a＞d＞0，
∴a﹣4d＝0，
∴a＝4d，
∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；
（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，
∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，
∵AB＝50，
∴d＝50﹣a，
∴AC＝2a﹣50，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（2a﹣50）2+a2＝502，
∵a＞0，
∴a＝40，
∴BC＝40，AC＝30，
过C作CH⊥AB于H交EF于M，
∴CH＝＝＝24，
∵四边形DEFG是矩形，
∴设FG＝x，
∴CM＝24﹣x，
∵EF∥AB，
∴△CFE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴S矩形DEFG＝FG?EF＝＝﹣（x﹣12）2+300，
∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．
25．【解答】解：设杯子的高度是
xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为
10cm，
∴杯子半径为
5cm，
∴x2+52＝（x+1）2，x2+25＝x2+2x+1，x＝12，
12+1＝13cm．
答：筷子长
13cm．
26．【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．
27．【解答】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
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