第13讲平行线分线段成比例
f
温故知新
比的意义和性质
比的意义:两个数相除,又叫做两个数的比
来
比4可表示为5:4或-,读
(2)比、除法和分数之间的对应关系
前项:〔比号)后项比值
被除数
〔除号
除数
分数
分子
〔分数线〕
分母
分数值
比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数,这个比的比值不变
比例的意义与性质
工表示两个比相等的式
在比
两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质
m解比例:求比例中的未知项,叫做解比
课堂导入
线段比
成比线段
相关概念
比例的性质
性质
相似多边形
平行线分线段成比例Q
定义
各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形
边、角、周长比、面视比
性质
回树状图
概率与频率
列举法求概率
列表格
用频率估计概率
比例基本概念
线段的比
个长度单位量得两条线段A
的长度分别是
条线段的比就
长度
或写成
其
分
这个线
前项和后项
确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统
两条线段的比值是长度
结果是正数,没有单位
图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺
成比例线段
四条线段
做成比例线段,简称比例线段
1.四条线段
成比例,只能记作
能写成其他形式。四条线段成比例时
定要将这四条线段按顺序
2判断给定的四条线段是否成比例
先将四条线段的长度
按大小顺序排列女
分别求出前两条线段的长度
两条线段的长度之
3)判:若
四条线段是成比例线段,否则不是
比例的性质
1基本性质:如果
如果=b
做
比例中项
分比性质
等比性质:如果
各
的是(
例
《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓
图,比例尺为
0000
西方长约3
在地图上的东西方长约为
答
例3、已知线段
求线段a与线段b的比
果线段
成比例,求线段d的长
是
的比例
(2)∵线段a、b
是成比例线段
1_120
)是,理
和c的比例中项
学霸说
确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统
举一反三
点P是线段
的
d四条线段
求x的值
解答】依题意,得
解得x=4,经检验
是原方程的解
刻,身高1.6米的
光下的影长为0
树的影长为48米,则这棵树的高度
6
4、将式子ab=cd(a,b,c,d都不等于0)写成比例式,错误的是(
列式子一定成
d+f≠0
解答
知识要日
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的线段成比例
图所
对应线段成比例的有
所得的线段必须是对应的,否则不成比
线段分线段成比例定理的常见变形如下图所
五)平行线分线段成比例定理的推论
角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比高效提分源
第13讲平行线分线段成比例
f
温故知新
比的意义和性质
比的意义:两个数相除,又叫做两个数的比
来
比4可表示为5:4或-,读
(2)比、除法和分数之间的对应关系
前项:〔比号)后项比值
被除数
〔除号
除数
分数
分子
〔分数线〕
分母
分数值
比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数,这个比的比值不变
比例的意义与性质
工表示两个比相等的式
在比
两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质
m解比例:求比例中的未知项,叫做解比
课堂导入
线段能比
相关概
比例的性质
相似多边形
平行线分线段成比例a
定义
各角分别相等,备边成比例的两个多边形叫做相似多边形
边、角、周长比、面积比
性质
回树状图
概率与频率
列举法求概率
列表格
用频率估计概率
比例基本概念
线段的比
个长度单位量得两条线段A
的长度分别是
条线段的比就
长度
或写成
其
分
这个线
前项和后项
确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统
两条线段的比值是长度
结果是正数,没有单位
图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺
高效提分源
成比例线段
四条线段
做成比例线段,简称比例线段
1.四条线段
成比例,只能记作
能写成其他形式。四条线段成比例时
定要将这四条线段按顺序
2判断给定的四条线段是否成比例
先将四条线段的长度
按大小顺序排列女
分别求出前两条线段的长度
两条线段的长度之
3)判:若
四条线段是成比例线段,否则不是
比例的性质
1基本性质:如果
如果=b
做
比例中项
分比性质
等比性质:如果
知
各
的是
例2、2013版《
共和
图
角特别
放大的钓鱼岛插图,比例尺为
0000
钓鱼岛东西方长约3.5公
图上的东西方长约为
B.0
知线段
线段a与线段b的
d成比例,求线段d的长
(3)b是a和c的比
学霸说
确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统
知点P是线段AB上的点
AP:
AB
知
C,d四条线段依次成比例,其
在
身高1.6米的
光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米
为米
高效提分源
都不等于0)写成比例式,错误的是(
B
式子一定成立的是()
厕回国国目V
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的线段成比例
右图所
近得的对应线段成
等
所得的线段必须是对应的,否则不成比仅
平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所
(五)平行线分线段成比例定理的推论第14讲相似三角形的判定
f
温故知新
平行线分线段成比例定理的推论
形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例
注意三边的对应的关系,不
平
角形的一边的直线可以与三角形的两边相交
以与三角形的两边的延长线相
所示,若DE∥BC
AE
AD
E
D
A
E
E
B
Y课堂导入
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
边成比例的两个三角形相似
知识要点日
相似三角形的概念及判
相似三角形的概念
对应角相等,对应
等的三角形叫做相似三角形
相似三角形是相似多边形
性质来理解相似三角
形应满足形状一样,但
以
表示,读作“相
相似三角形的对应边之比叫做相似比,书写对应边的比
定要找准对应边
相似三角形的判定方法
角形的两个角分别
两个角对应相等,那么这两个三角形相
角的两条
角形的两条边对应成比例
夹
那么这两个三角形相
角形
边分别与另
角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相
例分析
例
知
角平分线,求证
应先找相等的角,显然∠C是公共角
组相等的角则
通过计算来求
助于计算也是一种常用的方法
例2、如图,在△
∠ACB
点
图中相似三角形共有
对
C.3对
4对
△ACD∽△CBD,
△CBD,所
相
条件不能判定△ADB∽△ABC的是
AD
AB
根据有两个角对应相等的三角形相仉
及根据两边对应成比例且夹角相
例4、已知:在梯
点,连接AE、AC
C于点O(如图
求证
F是DC
点
交AE与点G(如图
四边形EFDG是菱
图1
点E是
得四边形AECD为平行四边形,即可得△
E,易得四边形ABED是平行四边形
得四边形
矩形
根据矩形的性质,易证得EF=GD=GE
边形EFDG是菱形
与图中的三角
以的是(
解答】B.此题考查三边对应成比例,两三角形相似判定定理的应
在研究相似问题时
同学的观点
将边长为3、4、5的三角形按图1的方
扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新
将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新
形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不
的观点
说
的是
两人都对
两人都不
不对
3、如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格
判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理
格点,请在这7个格点中选取3
为三角形的
点,使构成的三角
以(要求
符合条件的三角形
接相应线段,不必说
P
解答】(1)首先根据小正方形的边长,求出△ABC和△DEF的三边长,然后判断它们是否对应成比例
角形中的任意2个均
DP2P4
PsPAD
P4PsP2,△FDP
求第14讲相似三角形的判定
f
温故知新
平行线分线段成比例定理的推论
形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例
注意三边的对应的关系,不
平
角形的一边的直线可以与三角形的两边相交
以与三角形的两边的延长线相
所示,若DE∥BC
AE
AD
E
D
A
E
E
B
Y课堂导入
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
边成比例的两个三角形相似
知识要点日
相似三角形的概念及判
相似三角形的概念
对应角相等,对应
等的三角形叫做相似三角形
相似三角形是相似多边形
性质来理解相似三角
形应满足形状一样,但
以
表示,读作“相
相似三角形的对应边之比叫做相似比,书写对应边的比
定要找准对应边
相似三角形的判定方法
角形的两个角分别
两个角对应相等,那么这两个三角形相
角的两条
角形的两条边对应成比例
夹
那么这两个三角形相
角形
边分别与另
角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相
例分析
例
知
角平分线,求证
图,在△ABC
CD⊥AB于
图中相似三角形共
对
4对
例3、如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是
AD
AB
例4、已知:在梯形ABC
E是BC的中点,连接
连接EF,交AC于点O(如图1),求
是
连接BD,交
G(如图2),求
边形
菱形
图中的三角形
C
的观点如下
将边长为3、4
角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形
对应边间距为1,则新
角形与原三角形相似
将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的
矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确
两人都对
两人都不对C.甲对
D.甲不对,乙对
方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点
)判断△ABC
是
并说明玛
是△DEF边上的7个格点,请在这7个
作为三角形的
构成的三角形与△ABC相似(要求
符合条
角形
图中连接相应线段,不必说
理
另
证:△CDE∽△
B
知识
便目
相似三角形基本类型
的有如下两种
相交线型
如下四种
则由公共
角
△ADC
(3)如下右图,已知∠B=∠D,则由对顶角∠1=∠2得
CAE,∠B=∠D
为常见的基本图形
母子型:已知∠ACB=90
△CBD∽△ABC∽△AC
△ABC称为“斜交型”的相似三角形
(有“反A共角型
反A共角共边
蝶
型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边
射
垂直型”)
典例分
图,四边形ABCD是平行四边形,E是BC的延长线
E与CD相交于F,与△CEF相似的
图,正方形ABC
是CD的
是
使△AB
ECP相
条件是第15讲相似三角形的性质和应用
温故知新
相似三角形的判定方法
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
边成比例的两个三角形相似
课堂导入
对应边的比、周长的比等于相惻比
对应中线、角平分线、高线的比等于相比
相似三角形(多边形)的性质
对应面积的比等于相似比的平方
黄金分割
利用阳光下的影子测高
利用相似三角现测高
利用标杆测高
相似三角形(多边形)的应用
利用镜子的反射测高
利用相似三角形证明积式
图形的位似
知闽要匾日
相似三角形的性质
黄金分割
C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果A
那么称线段
被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比约为
段的黄金分割点有2
相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等,对应边成比
线的比和对应角平分线的比都等于相似比
3、相似三角形周长的比等于相似比
形面积的比等
典例分析
知线段
分
解答】根据黄金分割点的概念
种情况
AC是较长线段时,AC=4xy5-125
当AC是较短线段时
√5
本题答案为:2√5-2或6-2√5
例2、如图,在△ABC
C,AC的垂直平分线交AC于点
AB于点E,若
AE=BC,则点E是线段AB的黄金分割点
明你的理由
线段AB的黄金分
例3、两个相似三角形的面积比为4:9,周长和是20cm,则这两个三角形的周长分别是
和
例4、以边长为1的正方形ABC
B为对角线作
方形AE
以BE为对角线作第
如此作
所作
方形的面积
答
方形ABCD的边长为
F=AO
则
1
4’°g
的第
形的面积
答案
如果两个相似多边形的周长比为
积比为
解答】解:相似多边
长的b
等于相似比
相似比是
的比是相似比的平方,因而它们的面积比为
故选C
如果两个相似多边形面积的比是4:9,那么这两个相似多边形对应边的比是
解答】解:∵两个相似多边形面积的比是
多边形对应边的比是
点
移动.若以点
为顶
形相
CD-
DP
解得DP=2或
14-DP
解得D
614-DP
P=2或12或
4、电视节目主扌
舞台的黄金分割点0.6处最自然得体,若舞台AB长为20m,试
解:如图所
至少8m
答案为
5、已知点P是线段AB的黄金分割点,AB=20厘米,则线段AP=10√
解答】解
y51×20105-10厘米
答案为:10√5-10或30-10√5第15讲相似三角形的性质和应用
温故知新
相似三角形的判定方法
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
边成比例的两个三角形相似
课堂导入
对应边的比、周长的比等于相惻比
对应中线、角平分线、高线的比等于相比
相似三角形(多边形)的性质
对应面积的比等于相似比的平方
黄金分割
利用阳光下的影子测高
利用相似三角现测高
利用标杆测高
相似三角形(多边形)的应用
利用镜子的反射测高
利用相似三角形证明积式
图形的位似
知闽要匾日
相似三角形的性质
黄金分割
C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果A
那么称线段
被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比约为
段的黄金分割点有2
相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等,对应边成比
线的比和对应角平分线的比都等于相似比
3、相似三角形周长的比等于相似比
形面积的比等
典例分析
知线段
是
分
例2、如图,在△ABC
C,AC的垂直平分线交AC于点
AB于点E
AE=BC,则点E是线段AB的黄金分割点
例3、两个相似三角形的面积比为4:9,周长和是20cm,则这两个三角形的周长分别是
和
例4、以边长为1的正方形ABC
B为对角线作
方形AE
以BE为对角线作第
作
所作的第
方形的面积
如果两个相似多边形的周长比为1:5
的面积比为
如果两个相似多边形面积的比是4:9,那么这两个相似多边形对应边的比是
点
为顶
点的三角形与点
为顶点的三角形相似,则
舞台的黄金分
处最自然得体,若舞台AB长为20m,试计
算主持人应走到离A点至
知点P是线段AB的黄金分割点
0厘米,则线段
张知要点目
利用相似三角形测高
1、利用三角形相似测量高度方法
测量物
据太阳光线是平行的,寻找相似三角
被测量物体的实际高度
在
的实际高
被测量物体的影长
物体的影长
利用标杆测量物
测
标杆顶端、旗
点一线
理测量物高
助“反射角等于入射角”找出相等的角
刂三角形相
例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高,他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影
5米,因大树
栋建筑物,大树的影子不
们测得地面部分的影
米,墙上影子
米,求树高AB
E
例2、如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸
测量操场旗杆AB的高度,他
整测量位置,使斜边
旗杆顶
≌=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度
方法来
校教学大楼
度:如图,在水
处放一面平面镜,镜
教
勺距离AE-20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端
知她的眼睛
高度DC=1.6米,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注:入射角=反射角
举一反三
如图,为测量学校旗杆的高度,小东用长为3.2m的竹竿作
具,移动竹竿
端的影子恰好落
比时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗卡
