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2020-2021学年第一学期高一数学
期末冲刺复习
强化训练
单选题
1.若是三角形的一个内角，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.若函数对任意实数都有，那么的值等于（
）
A.
B.
C.
D.不能确定
3．已知sinxcosy＝，则cosxsiny的取值范围是（ ）
A．[﹣，]
B．[﹣，]
C．[﹣，]
D．[﹣1，1]
4.在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
6．若,且,,则（
）
A．
B．
C．
D．
7.函数y＝sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.若函数的最大值是8，则（
）
A．3
B．13
C．3或
D．或13
9.已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，]
B．（0，]
C．[，]
D．[，2]
10.若函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．3π
D．4π
11.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
12.已如函数区间上单调，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
13.函数，若对于任意的有恒成立，则实数的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
14．设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
15.已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（
）
A．
B．
C．
D．
多选题
1.已知函数，则下列说法正确的是（
）
A.的周期为
B.是的一条对称轴
C.是的一个递增区间
D.是的一个递减区间
2.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
3.已知函数，则下列说法正确的是（
）
A.的最小正周期为
B.的值域为
C.在区间上单调递增
D.的图象关于中心对称
4.已知函数的图象关于直线对称，则（
）
A．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增
D．若，则的最小值为
5.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（
）
A.是偶函数
B.在区间单调递增
C.在有4个零点
D.的最大值为2
填空题
1.若函数的最大值为3，则的值为__________.
2.已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为________．
3.将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，
得到一个偶函数图象，则＝ ．
4.已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______.
5.定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M?，
则ω的取值范围是 ．
6.在中，若，，则的最大值为__________．
四、解答题
1.已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
2.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）写出函数的解析式；
（2）若，，求的最小值.
3.如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，，满足，，均与轴垂直，设，与的面积之和为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
5.设.
（1）若，求函数的零点；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
6.已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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2020-2021学年第一学期高一数学
期末冲刺复习
强化训练
单选题
1.若是三角形的一个内角，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵，，，，又，，，.故选C.
2.若函数对任意实数都有，那么的值等于（
）
A.
B.
C.
D.不能确定
【答案】C
【解析】由得函数图象的对称轴为，
因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，所以.故选C.
3．已知sinxcosy＝，则cosxsiny的取值范围是（ ）
A．[﹣，]
B．[﹣，]
C．[﹣，]
D．[﹣1，1]
【答案】A
【解析】由于﹣1≤sin（x+y）≤1，sinxcosy＝，
sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsiny＝+cosxsiny，
再根据
sinxcosy﹣cosxsiny＝sin（x﹣y
），且﹣1≤sin
（x﹣y
）≤1，
结合①②可得﹣≤cosxsiny≤
故选：A．
4.在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在△ABC中，tan＝sinC＝sin(A＋B)＝2sincos，
所以2cos2＝1，所以cos(A＋B)＝0，
从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．故选C.
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
【答案】C
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝Asinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，∴k＝0，φ＝0；
又g(x)＝Asinωx，∴T＝＝2π，∴ω＝2，又g＝，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin2x，f＝.故选C.
6．若,且,,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】β＝α-(α﹣β)，
∵＜α，＜β，β＜，∴α，
∵sin（）0，
∴＜0，则cos（），
∵sinα，
∴cosα，
则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故选B
7.函数y＝sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数y＝sinx2是偶函数，排除A、C，当x2＝，即x＝时，
函数取得最大值6，
因为，x＝时，y＝sin≈sin2.5≈0.04，
故选：D．
8.若函数的最大值是8，则（
）
A．3
B．13
C．3或
D．或13
【答案】C
【解析】，，
,
当时，,解得，
当时，，解得，
故选：C
9.已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，]
B．（0，]
C．[，]
D．[，2]
【答案】B
【解析】函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，
∴，k∈Z
∵ω＞0，
故选：B．
10.若函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．3π
D．4π
【答案】C
【解析】函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），
f（x）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
可得y＝sin（x﹣），
函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点，
可得x＝﹣3π+arcsin，﹣π﹣arcsin，arcsin，π﹣arcsin，2π+arcsin，
4π﹣arcsin，
故选：C．
11.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
将向右平移个单位长度得到，
，
∴的对称中心为，
当时为.
12.已如函数区间上单调，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，∴.
又，.
∴是函数的一条对称轴.
同理得是函数的一个对称中心，
∵，
所以和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得.
∴，，所以.
∴，它在上单调递增，
故.
所以的最大值为.
故选：B
13.函数，若对于任意的有恒成立，则实数的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：
，，
最小值故选D。
14．设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，求函数的对称轴，
令，解得
函数，
令，解得，
因为函数与函数的对称轴完全相同，所以，故选：C.
15.已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】点和是函数图像的相邻的两个对称中心
且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，
函数的最小正周期，即，解得.
又在区间内单调递减，，.
由，，得，.
，当时，；当时，.
①当时，，
由，，得，，
即函数的单调递减区间为，.
当时，函数的单调递减区间为，满足条件.
②当时，.
由，，得，，
即函数的单调递减区间为，，
当，时，函数单调递减区间分别为，，
不符合题意，故舍去.
综上所述，.
故选：A.
多选题
1.已知函数，则下列说法正确的是（
）
A.的周期为
B.是的一条对称轴
C.是的一个递增区间
D.是的一个递减区间
【答案】ABD
【解析】由可得：，
所以的周期为；所以A正确；
将代入可得：
此时取得最小值，所以是的一条对称轴，所以B正确；
令，则由，复合而成；
当时，，在递增，
在不单调，
由复合函数的单调性规律可得：不是的一个递增区间；所以C错误.
当时，，在递增，
在单调递减，由复合函数的单调性规律可得：在递减，所以D正确；故选：ABD
2.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】由题意，，∴，
又，，又，∴，
∴．
∵，∴不是对称轴，A错；
，∴是对称中心，B正确；
时，，∴在上单调递增，C正确；
，，或，
即或，，又，∴，和为，D正确．
故选：BCD.
3.已知函数，则下列说法正确的是（
）
A.的最小正周期为
B.的值域为
C.在区间上单调递增
D.的图象关于中心对称
【答案】CD
【解析】，不是函数的周期，A错；
当时，，当时，，因为，，的值域为，B错；
当时，，单调递增，C正确；
，
函数的图象关于点成中心对称.D正确，
故选CD.
4.已知函数的图象关于直线对称，则（
）
A．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】函数的图象关于直线对称，
，；
，，，
对于A，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；
对于B，函数，根据余弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；
对于C，由于，，函数在上单调递增，故正确；
对于D，因为，，
又因为，的周期为，
所以则的最小值为，故正确.
5.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（
）
A.是偶函数
B.在区间单调递增
C.在有4个零点
D.的最大值为2
【答案】AD
【解析】则函数是偶函数，
故A正确；当时，，，
则为减函数，故B错误；
当时，，
由得得或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故C错误；
当，时，取得最大值2，故D正确，故选AD.
填空题
1.若函数的最大值为3，则的值为__________.
【答案】5
【解析】因为，
即函数的最大值为，
由已知有，即，故答案为：5.
2.已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为________．
【答案】 －
【解析】由已知得＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
又∵φ∈，∴当k＝0时，φ＝－符合条件．故答案为：－
3.将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，
得到一个偶函数图象，则＝ ．
【答案】
【解析】因为f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移单位长度，得到偶函数图象，
所以，所以．
故答案为：
4.已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______.
【答案】
【解析】，
令，则，
故的减区间为，
由题设可得为的子集，
故且，故，故，
当时，，故，
故的值域为．故答案为：.
5.定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M?，
则ω的取值范围是 ．
【答案】[]
【解析】由于x∈[0，π]时，所以ωx﹣．
所以，所以ω的取值范围是[]．
故答案为：[]．
6.在中，若，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】设
，
最大值为，故答案为：
四、解答题
1.已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)f(x)＝f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象；最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.
又函数y＝f(x)在上是减函数，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，所以m的取值范围是.
2.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）写出函数的解析式；
（2）若，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再将所得的图象向左平移个单位长度后得.
（2）设，，则，
此时，，
则的图象是开口向上的抛物线一段，
对称轴为，当即时，在上单调递增，；
当，即时，在上先减后增，；
当，即时，在上单调递减，，
∴.
3.如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，，满足，，均与轴垂直，设，与的面积之和为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）依题意
，
由，得，即
由，可得或，解得或；
（2）由（1）得，
，可得，从而，
当时，（当且仅当时，等号成立），
对任意，存在，使得成立.
可得，即，解得.
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
【答案】见解析
【解析】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（其中A＞0，ω＞0，﹣＜?＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
所以：周期T＝π，
且图象上一个最低点为M，
所以：f（x）＝2sin（2x﹣），
解得：x＝（k∈Z），
函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝2sin（4（x+）﹣）＝2cos4x的图象，
故：，
所以：﹣1≤g（x）≤4．
5.设.
（1）若，求函数的零点；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的零点是或；（2）．
【解析】（1）由，令，
则，即或，，
解得或，
∴的零点是或.
（2）由可得，所以，
①当时，易得，由恒成立可得，
，即，解得，
②当时，可得，由恒成立可得
，即，解得，
综上可得，的取值范围是．
6.已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间，
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函的图象，
∵的图象过．∴，可得：，
解得：，，即：，，
∵∴，可得的解析式为：，
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或，解得：或
（3），设，
∵
只需要即可，解得
综上所述。
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