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2020-2021学年第一学期高一数学
期末测试卷一
强化训练
单选题
1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥－1}
C．{x|1
D．{x|1≤x≤2}
2.命题“?x∈R,使得x2+2x<0”的否定是
( )
A.?x∈R,使得x2+2x≥0
B.?x∈R,使得x2+2x>0
C.?x∈R,都有x2+2x≥0
D.?x∈R,都有x2+2x<0
3.已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
4.已知全集为实数集，集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知的图象关于直线对称，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数的定义域为[0,2]，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
7.函数y=的图象与函数y=2sin
πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
8.设，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
9．已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )
10.在上定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．aB．bC．bD．c13.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（
）
A．
B．
C．
D．
14.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
17.若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
多选题
1.若集合具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，且当时，，则称集合是“紧密集合”．以下说法正确的是（
）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合是“紧密集合”，且，则
2.设0( )
A.a2+b2B.aC.a<2ab<
D.3.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连结，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（
）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）
4.已知函数，，则（ ）
A．是增函数
B．是偶函数
C．
D．
5.已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是
( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在[0,π]上有三个零点
C.当x=时,函数f(x)取得最大值
D.为了得到函数f(x)的图象,只需把函数y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
6.已知函数，现给出如下结论，其中正确的是（
）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．在区间上有三个零点
D．的最大值为2
7.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
填空题
1.已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值构成的集合为________.
2.已知命题，若为假命题，则实数的取值范围为
.
3.函数（，）的图像恒过定点
4.若，且，求的最小值________．
5.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
6.已知定义在上的奇函数，则
；不等式的解集为
．
7.函数f(x)＝的零点个数为________．
8.关于函数f(x)＝cos＋cos，给出下列命题：
①f(x)的最大值为；②f(x)的最小正周期是π；
③f(x)在区间上是减函数；
④将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
若偶函数对任意都有，且当时，，则
________．
四、解答题
1.计算
（1）－(－9.6)0－＋(1.5)－2；
（2）log25·log45－log3－log24＋5log52.
2.已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
3.设函数．
(1).若，且，求的最小值；
(2).若，且在上恒成立，求负数的取值范围．
4.已知定义在R上的函数f(x)=2x-a·2-x
(a∈R).
(1)当a>0时,试判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给予证明;
(2)当a=1时,试求g(x)=(1≤x≤2)的最小值.
5.已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围．
6.已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
7.已知是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
8.已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.
（1）求的值以及的单调递减区间；
（2）若且，求的值.
9.已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
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精品试卷·第
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2020-2021学年第一学期高一数学
期末测试卷一
强化训练
单选题
1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥－1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
【答案】B
【解析】由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}，
∴A∪(?RB)＝{x|x≥－1}．故选B.
2.命题“?x∈R,使得x2+2x<0”的否定是
( )
A.?x∈R,使得x2+2x≥0
B.?x∈R,使得x2+2x>0
C.?x∈R,都有x2+2x≥0
D.?x∈R,都有x2+2x<0
【答案】C
【解析】命题“?x∈R,使得x2+2x<0”的否定是“?x∈R,都有x2+2x≥0”,故选C.
3.已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【答案】D
【解析】函数f(x)＝x2－ax图象的对称轴为直线x＝，
根据二次函数的性质可知≤0或≥1，解得a≤0或a≥2.故选D.
4.已知全集为实数集，集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵或，，
∴，∴．故选D.
5.已知的图象关于直线对称，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数有两个零点，，
又因为其图象关于直线对称，所以，也是函数的两个零点，
即，所以，
令，则，
所以，即的值域为．故选B。
6.已知函数的定义域为[0,2]，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是[0,2]，
要使函数有意义，需使有意义且
，
所以，解得.所以的定义域为.故选：C.
7.函数y=的图象与函数y=2sin
πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】D
【解析】由于函数y=与函数y=2sin
πx(-2≤x≤4)的图象均关于点(1,0)成中心对称,
结合图象可知两函数共有8个交点,则有x1+x8=2×1=2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,
所以所有交点的横坐标之和为8.故选D.
8.设，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，，当且仅当，即，时，取“=”.故选A.
9．已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )
【答案】B
【解析】∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝，
从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．
故选B.
10.在上定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
原不等式可化为
即对任意实数都成立
所以只需，解得.故选C
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
【答案】A
【解析】y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期为π得ω＝2，
又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，由|φ|<可得φ＝，
所以y＝cos2x在单调递减．
故选A.
12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．aB．bC．bD．c【答案】A
【解析】由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.故选：A.
13.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.
结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.
14.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的图象，如图，
不妨设，则，关于直线对称，
故，且是图中线段上的点对应的横坐标，
故，即，
则的取值范围是，即．
故选D。
15.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】
A
【解析】作出函数的图象如图：
根据条件，结合图形可知，且，，其中
则，其中，
因为在上单调递增，故，故选A．
16.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，
所以数的取值范围为，故选：D.
17.若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，，
设，“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，化为，
令，下面证明方程有两解，
由于，所以，解得，
∴只要考虑即可，
，在区间上单调递增，
而，，
∴存在使得，
当单调递减，
单调递增，
而，，，
∴函数在区间，分别各有一个零点，
即的“和谐点对”有2个.
故选：B.
多选题
1.若集合具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，且当时，，则称集合是“紧密集合”．以下说法正确的是（
）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合是“紧密集合”，且，则
【答案】
BC．
【解析】若，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
集合是“紧密集合”，当时，，D错误．故选BC．
2.设0( )
A.a2+b2B.aC.a<2ab<
D.【答案】ABC
【解析】∵0∵a<∵a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=2b2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0,
∴a2+b2∵a2+b2-a=(1-a)2+a2-a=2a2-3a+1=(2a-1)(a-1)>0,∴a∵ab<=,∴a<2ab<,C正确;
∵a2+b2>=,a2+b2∴3.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连结，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（
）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）
【答案】AC
【解析】由，由射影定理可知，
又，∴（，），A正确；
由射影定理可知：，即，
又，即（，），C正确，
故选AC．
4.已知函数，，则（ ）
A．是增函数
B．是偶函数
C．
D．
【答案】ABD．
【解析】作出的图象，如图所示：
易知A正确；B显然正确；，C错；，D正确.
故选ABD.
5.已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是
( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在[0,π]上有三个零点
C.当x=时,函数f(x)取得最大值
D.为了得到函数f(x)的图象,只需把函数y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
【答案】AC
【解析】由T==π知A正确;
令f(x)=sin=0,即2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z),
∴f(x)在[0,π]上只有两个零点,B错误;
f=sin=,C正确;
将y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),
得到函数y=sin的图象,D错误.
故选AC.
6.已知函数，现给出如下结论，其中正确的是（
）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．在区间上有三个零点
D．的最大值为2
【答案】AC
【解析】∵，，
∴是奇函数，A正确；
的周期，，的周期，，
∵，
∴不是周期函数，B错误；
令，得，
∴，，或，，
解得，或，，
又，或或，C正确；
当时，，，
当时，，，
∵，
即与不可能同时取得最大值1，故D错误.
故选：AC.
7.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，
，，则，
由，得，
解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确，
故选ABD．
填空题
1.已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值构成的集合为________.
【答案】
【解析】集合有且仅有2个子集，可得中仅有一个元素，
即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当时，方程化为，，此时，符合题意；
当时，则由，，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；
综上可得满足题意的参数可能的取值有的取值构成的集合为.
故答案为：.
2.已知命题，若为假命题，则实数的取值范围为
.
【答案】
【解析】由题意得，
为假命题，为真命题.
当时，对不恒成立，不符合题意；
当时，得，
实数的取值范围为.
3.函数（，）的图像恒过定点
【答案】
【解析】∵（，），
∴函数（，）的图像恒过定点，
故答案为．
4.若，且，求的最小值________．
【答案】
【解析】因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值为，故答案为．
5.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
当且仅当，即且时取等号.
恒成立，则解得即
故答案为：
6.已知定义在上的奇函数，则
；不等式的解集为
．
【答案】，
【解析】∵是定义在上的奇函数，
当时，，
∴，∴；
又在和上都单调递减，
而且函数又是连续性函数，图像没有断开，
所以函数在上单调递减，
∵不等式，，∴，
∴或，解得，
即不等式的解集为，故答案为，．
7.函数f(x)＝的零点个数为________．
【答案】2
【解析】令f(x)＝0，得到解得x＝－1；或
在同一个直角坐标系中画出y＝2－x和y＝lnx的图象，观察交点个数，如图所示．
函数y＝2－x和y＝lnx，x>0在同一个直角坐标系中交点个数是1，
所以函数f(x)在x<0时的零点有一个，在x>0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.
8.关于函数f(x)＝cos＋cos，给出下列命题：
①f(x)的最大值为；②f(x)的最小正周期是π；
③f(x)在区间上是减函数；
④将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
【答案】①②③④
【解析】 f(x)＝cos＋cos＝cos＋sin＝cos－sin＝
＝cos＝cos，
∴函数f(x)的最大值为，最小正周期为π，故①②正确；
又当x∈时，2x－∈[0，π]，∴函数f(x)在上是减函数，故③正确；由④得y＝cos＝cos，故④正确．故答案为①②③④.
若偶函数对任意都有，且当时，，则
________．
【答案】
．
【解析】因为，所以，
所以是以6为周期的周期函数，
所以．故答案为.
四、解答题
1.计算
（1）－(－9.6)0－＋(1.5)－2；
（2）log25·log45－log3－log24＋5log52.
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）－(－9.6)0－＋(1.5)－2
＝－1－＋
＝－1－＋＝－1－＋＝.
(2)log25·log45－log3－log24＋5log52＝－＋1－2＋2＝.
2.已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
【答案】见解析
【解析】
∵ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,
∴当a=0时,1≥0,不等式恒成立;
当a≠0时,由题意得
解得0综上,a的取值范围是0≤a≤1.
由x2-x-a2+a<0,得(x-a)[x-(1-a)]<0.
∵0≤a≤1,
∴①当1-a>a,即0≤a<时,a②当1-a=a,即a=时,<0,不等式无解;
③当1-a综上,当0≤a<时,原不等式的解集为{x|a原不等式的解集为{x|1-a3.设函数．
(1).若，且，求的最小值；
(2).若，且在上恒成立，求负数的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1).函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，因为，，解得时等号成立，
此时的最小值是.
(2).由，即，
又由在上恒成立，即在上恒成立，
等价于是不等式解集的子集，
当时，不等式的解集为，则，解得，故有；
综上所述，
负数的取值范围是.
4.已知定义在R上的函数f(x)=2x-a·2-x
(a∈R).
(1)当a>0时,试判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给予证明;
(2)当a=1时,试求g(x)=(1≤x≤2)的最小值.
【答案】见解析
【解析】 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1=(-)+a(-)=(-)+a·=(-).(3分)
∵10,∴-<0,
1+>0,(5分)
∴(-)<0,
即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
(6分)
(2)设f(x)=t,则g(x)=t+,
由(1)知,
当a=1时,
f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当1≤x≤2时,t∈.(9分)
∵y=t+在区间上单调递减,在区间上单调递增,
∴当t=2,
即2x-=2,即x=log2(+1)时,g(x)取得最小值,g(x)min=4.(12分)
5.已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，，
由，得，∴，得，
即，解得或，
∴当时，不等式的解集为或．
（2）由题意得，
该问题等价于，化简得，
即，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
当且时，，且，
由，得（且）；
由，得（且），
依题意，若原方程由两个不等的实数根，则（且），
故所求的取值范围为．
6.已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）的最大值为，此时的取值集合为；
（2）.
【解析】（1）因为
，
当，即时，函数取最大值，
所以函数的最大值为，此时的取值集合为；
（2）因为，则，即，
因为，所以，
则，
所以
7.已知是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即，
又∵，化简得：，∴；
（2）令，
∵和在上，均是单调递减函数，
∴
在上，也是单调递减函数且的最大值是，
又令，对于任意，存在，
使得，
等价于成立，即成立，
∵，则在上单调递减，
，故，解得,
综上所述，实数的取值范围为
8.已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.
（1）求的值以及的单调递减区间；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），（）（2）
【解析】（1）
.
由于图像上相邻两个最低点的距离为，
所以.所以.
由，解得，
所以的单调减区间为（）.
（2）由（1）得.
依题意，，，
而，所以，
所以.
所以
.
9.已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．
（2）结论：在，上均为增函数．
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则
，
因为，又，
所以，所以，
即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数．
（3）由（2）知在上为增函数，
又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则，
即，解得．
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精品试卷·第
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