2020新版上海高一上数学复习卷—期末复习卷三
【规律总结】
1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：
①a2＋b2≥；
②ab≤；
③ab≤(a＋b)2；
④≤；
⑤(a＋b)2≥4ab；
⑥≥；
⑦≥；
⑧abc≤等．
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．
2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．
3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．
4．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．
【复习试卷】
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2
B．a
C．3
D.
解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成立．故选C.
2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A.
B.
C．2
D.
解：∵x＞0，y＞0，∴4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，
∴12xy＋3xy≤30，∴xy≤2，∴xy的最大值为2.故选C.
3．函数f(x)＝在(－∞，2)上的最小值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解：当x＜2时，2－x＞0，因此f(x)＝＝＋(2－x)≥2·
＝2，当且仅当＝2－x时上式取等号．
而此方程有解x＝1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜
B．v＝
C.＜v＜
D．v＝
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝＝＜＝.
又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.
5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A.
B．4
C.
D．5
解：依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋]≥＝，
当且仅当
即时取等号，即＋的最小值是.故选C.
6．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2
B．7＋2
C．6＋4
D．7＋4
解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
即3a＋4b＝ab，且
即a＞0，b＞0，
所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．故选D.
7．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则A∩B＝( )
A．[－1，1]
B．[－1，2)
C．[1，2)
D．[－2，－1]
解：依题意，集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|－2≤x<2}，A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．故选D.
8．不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.∪(1，3]
D.∪(1，3]
解：≥2?≥0?≥0
?－2x2＋5x＋3≥0(x≠1)?2x2－5x－3≤0(x≠1)?－≤x≤3且x≠1.故选D.
9．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则不等式f(x2－1)<0的解集为( )
A．(－1，0)
B．(－，0)∪(0，)
C．(0，2)
D．(1，2)
解：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)＝|x|－1.
∴f(x2－1)＝|x2－1|－1.解不等式|x2－1|－1<0，得010．若一个矩形的对角线长为常数a，则其面积的最大值为( )
A．a2
B.a2
C．a
D.a
解：如图，设矩形的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝a2，其面积S＝xy，
由基本不等式得S≤(x2＋y2)＝a2，当且仅当x＝y时取等号，此时为正方形．故选B.
11．函数y＝log2(x>1)的最小值为( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
解：函数y＝log2(x＞1)＝log2(x－1＋＋6)≥
log2＝log28＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时取得等号．故选C.
12．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(1，＋∞)
D.
解法一：∵x∈[1，5]，∴不等式变形为a>－x＋，
∵x∈[1，5]时，y＝－x＋单调递减，∴y∈，
∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a>－.
解法二：一元二次方程x2＋ax－2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数
y＝f(x)＝x2＋ax－2，开口向上．与x轴交点一正一负，y＞0，在区间[1，5]上有解，
只需y＝f(5)＞0即可.52＋5a－2＞0，∴a＞－.故选A.
13．点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，∴mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号，
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2.故填－2.
14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解：易知定点A(0，0)，B(1，3)．且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立．故填5.
15．已知集合A＝{x∈R|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，
则m＝__________，n＝__________．
解：∵A＝{x∈R|<3}＝{x|－5又∵A∩B＝(－1，n)，画数轴可知m＝－1，n＝1.故填－1；1.
16．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，则最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
解：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，
∴l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，
故最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2)
m．故填4＋2.
17．(10分)已知不等式kx2－x＋4k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x＜－4或x＞－1}，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为?，求实数k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－4或x＞－1}，所以－1和－4是方程kx2－x＋4k＝0的
两个实根，由韦达定理得x1＋x2＝，解得k＝－.
(2)不等式的解集为?，则kx2－x＋4k≥0恒成立，所以k＞0且Δ＝1－16k2≤0，解得k≥.
18．(12分)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：每次都提价%.若p>q>0，则提价多的方案是哪一种？
解：设原价为a，则提价后的价格为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)a，方案乙：a，
∵·≤＋＝1＋%(当且仅当p＝q时取等号)，
∵p＞q＞0，∴·＜1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)a＜a，
∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．
19．(12分)(1)解不等式≤x－1；(2)求函数y＝＋的最小值．
解：(1)≤x－1?≤0?≥0
?
?
x≥3或－1≤x＜1.
∴此不等式的解集为{x|x≥3或－1≤x＜1}．
(2)∵x∈，∴2x＞0，1－2x＞0，
∴y＝＋＝[2x＋(1－2x)]＝13＋＋≥25，
当且仅当x＝时，等号成立，即函数的最小值为25.
20．(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．
解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立．∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当
即时“＝”成立．
∴当时，2x＋4y取最小值为4.
21．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值．
解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，
即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
22．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的
钢筋总长度最小？
解：(1)设每间虎笼长为x
m，宽为y
m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.
当且仅当2x＝3y时等号成立．由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.
S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使每间虎笼面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长度最小．
解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长度最小．
23．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，
单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)
的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
解：(1)F＝≤＝1
900，当且仅当v＝11时等号成立．
(2)F＝≤＝2
000，当且仅当v＝10时等号成立，2
000－1
900＝100.
故填(1)1
900；(2)100.2020新版上海高一上数学复习卷—期末复习卷一
【规律总结】
1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
5．五个关系式A?B，A∩B＝A，A∪B＝B，?UB??UA以及A∩(?UB)＝?是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
6．正难则反原则
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．
例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．
这个问题的反面即是三个集合全为空集，即
解得≤a＜3，
从而所求a的取值范围为.
7．命题及判断命题的真假
(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．
(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．
8．四种命题间的相互关系及应用
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．
(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．
9．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．
10．充要条件的三种判断方法
(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p?q及q?p的真假；第三步，下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：
①若A?B，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的充分不必要条件；
③若B?A，则p是q的必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
【复习试卷】
1．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解：A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D.
2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( )
A．{0}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{－1，0，1}
解：∵N＝{x|0≤x≤1}，M＝{－1，0，1}，∴M∩N＝{0，1}．故选B.
3．已知集合A＝{x|0A.
B.
C.
D.
解：易知A＝，∴A∩B＝.故选D.
4已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
解：由题意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.
5．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1表示的集合的真子集的个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
解：A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.
6．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下
三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解：①(－4)＋(－2)＝－6?A，不正确；②设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，
n1－n2∈A，正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，不正确．故选B.
7．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1?A，且x＋1?A，
则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．
解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，
{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.
8．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合
A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}，当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
解：当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋2x2＋4x3，xi∈M，i＝1，2，3}
＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
9．已知集合A＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)<0}，B＝.
(1)当a＝2时，求A∩B；(2)求使B?A时实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，A＝{x|x2－9x＋14<0}＝(2，7)，B＝＝(4，5)，∴A∩B＝(4，5)．
(2)当a≠1时，B＝(2a，a2＋1)；当a＝1时，B＝?.又A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]<0}，
①当3a＋1<2，即a<时，A＝(3a＋1，2)，要使B?A成立，只须满足
解得a＝－1；
②当a＝时，A＝?，B＝，B?A不成立；
③当3a＋1>2，即a>时，A＝(2，3a＋1)，要使B?A成立，
只须满足
解得1≤a≤3.
综上可知，使B?A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}．
10．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B.
11．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是( )
A．若a?M，则b?M
B．若b?M，则a∈M
C．若b∈M，则a?M
D．若a?M，则b∈M
解：命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题是“若b∈M，则a?M”，又原命题与逆否命题为等价命题，
故选C.
12．设p：x<3，q：－1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：∵(－1，3)?(－∞，3)，∴p是q成立的必要不充分条件．故选B.
13．条件p：－2是( )A．(4，＋∞)
B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4]
D．[4，＋∞)
解：由题意，可得p是q的充分不必要条件，∴{x|－24，
即a<－4.故选B.
14．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|＞|b|，q：a2＞b2
C．p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab
D．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
解：A中，x＝1?x2＝x，x2＝x?x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，|a|＞|b|，
根据不等式的性质可得a2＞b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，∵a2＋b2≥2ab，
∴由x＞a2＋b2，得x＞2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；
D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c＞b＋d，但a＜b，c＞d；
反之，由同向不等式可加性知a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，故p是q的必要不充分条件．故选D.
15．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________．
解：x＝＝2±，∵x是整数，即2±为整数，∴为整数，且n≤4.
又∵n∈N＋，∴可取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；
反之，当n＝3，4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．故填3或4.
16．写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断
它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；(真)
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；(真)
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0.(真)．
17．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．
解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
(1)∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，有
得
这样的m不存在．
(2)∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S?P，有
得m≤3，即m的取值范围是(－∞，3]．
18.
求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合题目要求；
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，
从而a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是
得a＜0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是
得0＜a≤1.
综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
