6.1平面向量及其线性运算 专题训练（含解析）

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必修二第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算专题训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．在平行四边形中，，设，，则向量 （ ）
A． B． C． D．
3．设是两个不共线的向量，且与共线，则实数λ＝（ ）
A．－1 B．3 C． D．
4．在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且，是的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．已知相邻两条射线，所成的角是，线段.若，且满足“，”的点P所构成的图形为G，则图形G是（ ）
A．线段 B．射线 C．直线 D．圆
8．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的对角线和相交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在矩形中，，，若，分别为，的中点，则（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．下列说法中正确的是___（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若，则；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量.
12．设，是两个不平行的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______．
13．在中，，，，、分别为、的中点，则______.
14．在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．
15．已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是________.
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.
（1）求值；
（2）已知若的最小值为，求的最大值.
17．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为，，，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
2．B
【分析】
利用向量的加、减法法则计算即可.
【详解】
.
故选：B.
3．D
【分析】
根据向量共线有存在实数使，即可求λ.
【详解】
由共线，知：，为实数，
∴，即，
故选：D
4．B
【分析】
由条件根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得，，然后转化求解即可．
【详解】
可得，
，
两式平方相加可得．
故选：．
5．A
【分析】
直接由向量加法的平行四边形法则即可得结果.
【详解】
根据向量加法的平行四边形法则可得，
故选：A.
6．B
【分析】
由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解.
【详解】
由题，在空间四边形， ， ， ．
点在上，且， 是的中点，则 ．
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.
7．A
【分析】
设，，则可得，从而可得点P，，共线，再根据可得的轨迹.
【详解】
因，
令，，则，
整理得到：，所以点P，，共线，
又，，故即，所以的轨迹为线段，图中线段为所求.
故选：A.
【点睛】
本题考查共线向量定理的推论的应用、平面上动点的轨迹，注意三点共线的向量刻画，本题属于中档题.
8．B
【分析】
根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.
【详解】
因为在矩形中，为中点，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.
9．C
【分析】
利用菱形的性质和平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】
因为四边形为菱形，对角线和相交于点，
所以，，，故A，B，D正确.
而，不一定相等，故C错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的定义，属于简单题.
10．B
【分析】
由平面向量的线性运算得，，利用平面向量的数量积运算法则进行计算。
【详解】
据题意，得
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题。
11．④
【分析】
根据向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量，故①错误；
零向量的模为0，不是正实数，故②错误；
向量含有方向，不能比较大小，故③错误；
若长度相等，方向相同，则向量相等，故④正确.
故只有④正确.
故答案为：④.
12．
【分析】
由共线即可得．
【详解】
由题意，因为三点共线，所以共线，
所以存在实数，使得，
所以，，所以．
故答案为：．
13．
【分析】
根据已知条件，根据向量的线性运算可得，结合向量的数量积运算，即可求得结论.
【详解】
解：因为在中，，，，、分别为、的中点，
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据图形对平面向量进行加减法运算，以及平面向量数量积的计算，考查运算能力和转化思想.
14．.
【分析】
由题意利用平面向量的加减法几何意义，可得，两边平方再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC的面积S的最大值．
【详解】
在△ABC中，，BC边上的中线AD=3，，设AB＝c，AC＝b，
平方可得 9＝.
化简可得，，∴bc≤36，当且仅当时成立，
故△ABC的面积S＝
故答案为
【点睛】
本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
15．
【分析】
依题意知，cosθ+cos2θ＝1，于是得cosθ＝sin2θ，sin6θ＝2cosθ﹣1，sin2θ+sin4θ+sin6θ＝2cosθ，解方程cosθ+cos2θ＝1，可求得cosθ，从而可得答案．
【详解】
解：∵A、B、C三点共线，且cosθcos2θ，
∴cosθ+cos2θ＝1，（三点共线的充要条件）
∴cos2θ＝1﹣cosθ，
∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ，
∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ?（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1，
∴sin2θ+sin4θ+sin6θ
＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1
＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1
＝2cosθ，
由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，
∴cosθ，
∴原式＝2cosθ1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得，sin6θ＝2cosθ﹣1，sin2θ+sin4θ+sin6θ＝2cosθ是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题．
16．（1）（2）1
【分析】
（1）由，得，化简得，即可得到答案；
（2）化简函数，对实数分类讨论求得函数的最小值，得到关于的分段函数，进而求得函数的最大值.
【详解】
（1）由题意知三点满足，
可得，所以，即
即，则，所以.
（2）由题意，函数
因为，所以，
当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
综上所述，，可得函数的最大值为1，
即的最大值为1.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
17．（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
【分析】
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得：，，，
，，
，G，H，I三点共线；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，则
设外心，垂心的坐标为，，的中点为，
，，的坐标分别为，，，，，
，，的坐标为，，
，，，，
由，
则，
即，
外心的坐标为，垂心的坐标为，
，，，，得，
，，三点共线.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，关键是掌握坐标的运算法则和向量的数量积的运算，属于中档题．
试卷第2 22页，总3 33页
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