6.2向量基本定理与向量的坐标 专题训练（含解析）

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必修二第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标专题训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知为原点，若点、的坐标分别为、，，当点在线段AB上，且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．长方体中，为的中点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，,，若，，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知向量，，且，那么实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
8．已知，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．已知向量，，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．设，，若，则实数m＝_____．
12．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______．
13．已知向量，，且与平行，向量______.
14．已知平面向量，，若，则实数__________.
15．若三点共线，则等于_________．
三、解答题
16．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
17．设向量，，，.
（1）若，求的值；
（2）设，求的最大值和最小值以及对应的x的值.
参考答案
1．C
【分析】
设，根据向量的线性运算的坐标表示可求出，利用向量的数量积公式及函数的单调性即可求解.
【详解】
设
、的坐标分别为、，
则
，，
，即
，，
即所求的最大值为
故选：C
2．A
【分析】
由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.
故选：A.
3．A
【分析】
先计算，再利用空间向量的加减法的定义，用，，表示即可.
【详解】
如图所示，
依题意，
故，
则
.
故选：A.
4．B
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为向量，，
则.
故选：B.
5．C
【分析】
由可得，，然后，利用二次函数的知识可求出答案.
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以，
所以，
故选：C
6．A
【分析】
利用平面向量的线性运算将，，，转化为和，再根据和的长度和夹角进行运算可得结果.
【详解】
依题意得，
，
所以
，
，即，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用平面向量的线性运算将，，，转化为和进行运算是解题关键.
7．A
【分析】
由向量平行的坐标表示计算．
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
8．A
【分析】
利用空间向量共线的充要条件：存在使，列出方程组，求出的值
【详解】
，，若，
则有，即.
解得，.
故选：A
【点睛】
解决空间向量共线问题，一般利用空间向量共线的充要条件：存在使，属于基础题.
9．D
【分析】
先根据可得，再由可求出，即可根据向量夹角公式计算得出.
【详解】
，，解得，，
设，则，
则，解得，故，
，，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，考查向量夹角余弦值的计算，属于基础题.
10．C
【分析】
可选定为基底向量，将表示成两基底向量相加减的形式，即可求解
【详解】
，即，同乘可得
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示任意向量，属于基础题
11．
【分析】
利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故答案为：
12．
【分析】
构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围．
【详解】
构造“等和线”解题，作，
连接，则，
所以，
显然对应的，
作出的一系列平行线，对应的
对应的，
过点对应的等和线，过点对应的“等和线：，
所以的取值范围是.
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题．
13．
【分析】
由向量平行的条件求出后可得．
【详解】
∵，，∴，
又与平行，∴，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】
结论点睛：本题考查向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，
向量平行与垂直是两个重要关系，它们的坐标表示为：
，则． ．
14．
【分析】
根据向量共线的坐标表示，由题中条件列出等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为向量，，若，
则，解得.
故答案为：.
15．
【分析】
三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解．
【详解】
解：，，
依题意知，
有
即，变形为，
所以
故答案为：
16．（1）；（2）．
【分析】
（1）由点，，三点共线可得和共线，解关于的方程可得答案；
（2）由为直角三角形可得，即，解关于的方程可得答案．
【详解】
（1），，，
，
点，，三点共线，和共线，
，解得；
（2）为直角三角形，且为直角，
，，
解得．
【点睛】
方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
17．（1）；（2）时，最小值为；时，最大值为.
【分析】
（1）根据向量，，且，由求解.
（2）由，利用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）因为向量，，且，
所以，即.
若，则，与矛盾，
故.
于是.又，
所以，，
所以，，
则，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以，
又，
所以，
所以当，即时，取到最小值；
∵.
∴当，即时，取到最大值.
【点睛】
方法点睛：三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问

试卷第2 22页，总3 33页
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