6.3平面向量线性运算的应用 专题训练（含解析）

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必修二第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用专题训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知作用在坐标原点的三个力，，，则作用在原点的合力的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，是非零向量，且满足（－2）⊥，（－2）⊥，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．在等腰直角中，在边上且满足：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．已知平面向量，，满足：，，夹角为，且.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
10．已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．已知平面向量，，，满足，，，，则的取值范围为______.
12．已知为边长为2的正方形所在平面内一点，则的最小值为______．
13．已知，，是非零向量，，，为任意实数，当与的夹角为时，的最小值是___________.
14．在梯形中，，，，，动点P和Q分别在线段和上，且，，则的最大值为______.
15．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .
三、解答题
16．已知，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．已知菱形ABCD的边长为2，M为BD上靠近D的三等分点，且线段.
（1）求的值；
（2）点P为对角线BD上的任意一点，求的最小值.
参考答案
1．A
【分析】
由题意，根据向量的坐标运算法则，即可求得的坐标，得到答案.
【详解】
由题意，作用在坐标原点的三个力，，，
则，即的坐标为.
故选：A.
2．D
【分析】
利用直线的法向量和直线的关系，利用向量的数量积的坐标运算求得直线上的动点的坐标的关系，即为所求.
【详解】
设直线上的动点,则，
,
直线的方程为，
故选：D.
【点睛】
关键是利用轨迹方程思想，利用向量垂直的条件，向量数量积的坐标运算求得线上的动点的坐标的关系.
3．C
【分析】
利用平面向量数量积运算，由（－2）⊥，得到·－2·＝0，由(－2)⊥，得到·－2·＝0，然后得到·＝·＝2·求解.
【详解】
∵（－2）⊥，
∴(－2)·＝0，即·－2·＝0，
∵(－2)⊥，
∴(－2)·＝0，即·－2·＝0，
∴·＝·＝2·，
即||＝||，则cosA＝＝，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．A
【分析】
根据题意，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．
【详解】
解：因为，
所以，
则，所以．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型．
5．A
【详解】
根据题意，在线段上，过 作，垂足为，作 ，垂足为 ，若设，由于 ，得 ，根据题意 ； ，即 ，，
故选A.
6．B
【分析】
根据题意可设,,则可化简整理为
,其可理解为动点到两定点的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值.
【详解】
由题知是单位向量,且,
故不妨取,,
设
设,,,
则表示动点到两定点的距离之和,
所以,
故选:B.
【点睛】
本题考查平面向量的运算?平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.
7．A
【分析】
由题意知，可设，由向量的坐标运算可得，可转为在直线上取一点，使得最小，利用化曲为直的思想即可得到答案.
【详解】
由题意知，可设，因为，夹角为，则点B在直线上，如图，
则，，
，
则的最小值可转化为在直线上取一点，使得最小，作点关于直线的对称点，则的最小值即为，
设点，则，解得，，
则，
故的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，属于中档题.
8．C
【解析】
分析：建立平面直角坐标系，明确动点P的轨迹，结合坐标运算逐一检验各选项即可.
详解：以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系
A，B，设P，C
，
，，
∴
，
∵距离大于等于4，
∴P
对于A来说，，错误；
对于B来说，，错误；
对于C来说，，正确；
对于D来说，当P时，，即，∴
即，错误.
故选C
点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
9．B
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
点是所在平面上一点，满足，
则，可得，即，
等式两边平方并化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
10．A
【分析】
本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】
由已知，，
所以，
故选A
【点睛】
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
11．
【分析】
用几何意义求解．不妨设，，，则在圆心在原点，半径为2的圆上，设，则在以为圆心半径为1的圆上，运动后，形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，表示圆环内的点与定点的距离，由图形可得最大值和最小值．
【详解】
令，，，设的坐标为，的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.
设，的坐标为，的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.表示与点的距离，
由图可知，故的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设，，，，固定后得出了的轨迹，然后由模的几何意义得出最值．
12．
【分析】
建立平面直角坐标系，设，写出各点坐标，利用平面向量数量积的坐标公式表示出，结合配方法得出最小值即可．
【详解】
建立如图所示坐标系，
设，则（0，0），（2，0），（2，2），（0，2），
∴，，
∴
．
∴当时，的最小值为．
故答案为：
13．
【分析】
设，，，，利用可以设利用即可求出点的轨迹为单位圆，， 的最小值是点到直线的距离，从而求得答案.
【详解】
设，，，
因为，

，，
因为与的夹角为，所以与夹角为，所以，
所以，所以，
因为得：所，
所以，所以点的轨迹为单位圆，
所以的最小值是点到直线的距离.
过点作于点,交单位圆于点，
所以，
即，解得：，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.
14．
【分析】
由题可知，，据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数，，由对勾函数的性质推出在上的单调性，求出最大值即可得解.
【详解】
根据题意，作出如下所示图形：
∵，，∴，
又P和Q分别在线段和上，
∴，解得.
.
设函数，，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．
15．
【解析】
设AB的长为，因为，，所以
==+1+=1，
解得，所以AB的长为.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.
16．（1）；（2）；（3）且.
【分析】
（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；
（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；
（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.
【详解】
因为，，
（1）若，则，解得；
（2）若，则，解得；
（3）若与夹角为锐角，则，且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.
17．（1），（2）
【分析】
（1）由结合, 可求出，从而得到
（2）建立直角坐标系，设，可得到，然后利用二次函数的知识求出最小值
【详解】
（1）如图，四边形ABCD为菱形，
所以
所以
因为,
所以可解得,所以
所以是等边三角形，故
（2）以A为原点，所在直线为x轴建立如图所示坐标系：
则有，
所以线段：
设，则有
，
所以
因为，所以当时取得最小值
【点睛】
本题考查平面向量数量积及其运算，涉及余弦定理，二次函数等基本知识，属于
试卷第3 33页，总3 33页
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