4.3指数函数与对数函数的关系 专题训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
必修二第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系专题训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．函数的反函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的反函数为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是函数的两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法中,正确的是
A．对任意,都有
B．=是上的增函数
C．若且,则
D．在同一坐标系中,与的图象关于直线对称.
5．关于的方程，的根分别为，，则的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．函数的反函数为（ ）．
A． B．
C． D．
7．函数（且）的反函数所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．点在函数（，且）的反函数的图象上，则（ ）
A． B．2 C． D．1
9．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数与的图像关于直线对称，则（ ）
A．4 B． C．1 D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．已知函数是函数的反函数，且，则_______．
12．函数的反函数是___________.
13．已知函数（且）满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是______．
14．设?分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围是______.
15．已知函数，则的值为___________．
三、解答题
16．已知函数
（1）请在给定的同一个坐标系中画出和函数的图象;
（2）设函数，求出成的零点．
17．已知函数（且），
（1）讨论的奇偶性与单调性；
（2）求的反函数；
（3）若，解关于x的不等式．
参考答案
1．A
【分析】
利用反函数的求法，分类讨论即可得出．
【详解】
因为，
当时，由，解得，把与互换可得：；
当时，由，解得，把与互换可得：．
函数的反函数是．
故选：A
【点睛】
方法点睛：求反函数一般分三步：（1）解方程求出；（2）把互换；（3）求出原函数的值域即得反函数的定义域.
2．D
【分析】
根据原函数的定义域是反函数值域,只需求反函数的值域即可得到.
【详解】
因为的反函数为,
所以的定义域为的值域,
因为,
所以,
即的值域为,
所以的定义域为.
故选.
【点睛】
本题考查了原函数与其反函数的定义域和值域的关系,属于基础题.
3．A
【分析】
将问题转化为函数与的图象的交点问题，设两函数图象的交点，然后设法得出的表达式去分析.
【详解】
，在同一直角坐标系中作出与的图象，
设两函数图象的交点，
则，即，
又，
所以，，即，
所以①；
又，故，即②，
由①②得：，
故选：A.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数图象的应用问题，难度一般，解答的关键在于利用方程思想表示出两交点的关系式.
4．D
【解析】
令,则,排除A;=是上的减函数,排除B;当时,成立,当时,不成立,排除C.选D.
5．A
【分析】
将方程转化为，，作出，和的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】
，．
作出，和的图象如图所示．
，两点的横坐标分别是，，点，关于直线对称，
∴，两点的中点是．联立和，
求得点的横坐标为，∴．
故选：A
【点睛】
本题考查了指数函数、对数函数的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题.
6．B
【分析】
先求函数值域，再解出，即可得反函数解析式.
【详解】
因此函数的反函数为
故选：B
【点睛】
本题考查求反函数，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．B
【分析】
过定点，再根据反函数性质得到答案.
【详解】
过定点，故反函数所过定点的坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数过定点，反函数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8．C
【分析】
利用反函数的定义可得在函数上，代入可求出，从而可求
【详解】
因为点在函数的反函数的图象上，
所以点在函数的图象上，
因此，即，又，所以，所以，
故.
故选：C
【点睛】
本题考查了反函数的定义以及对数的运算，掌握反函数的定义是关键，属于基础题.
9．A
【分析】
由得，设，，可得与互为反函数，且与的图像关于对称，可得函数（或的图像与直线相切时的值是不等式恒成立的最小值，设切点为对求导，列出关于，的方程组，可得的最小值.
【详解】
解：由题意得，设，，
可得与互为反函数，且与的图像关于对称，
所以函数（或）的图像与直线相切时的值是不等式恒成立时的最小值，设函数与直线相切的切点为，
可得可得，同时对求导可得：，可得，联立可得，解得：，
则的最小值为，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立的问题，考查了函数与反函数的性质，导数性质的应用，体现了转化的思想，属于中档题.
10．C
【分析】
由已知得的图象与的图象关于直线对称可知与互为反函数，即代入即可求出结果．
【详解】
函数与的图像关于直线对称,
与互为反函数,则,
.
故选:.
【点睛】
本题考查反函数的定义和性质,难度容易.
11．
【分析】
根据条件先求解出，然后根据求解出的取值即可.
【详解】
因为的反函数为，
又，所以，所以，所以，
故答案为：.
12．；
【分析】
根据指数函数与对数函数互为反函数直接求解.
【详解】
因为，
所以，
即的反函数为，
故答案为：
13．
【分析】
由函数（且），，得出 ，再根据对数函数与指数函数的关系，求得，结合对数函数的单调性，得到不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数（且）满足，所以函数为单调递减函数，所以，
又由是的反函数，则，
所以函数为单调递减函数，且，
则不等式，即为，即，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，以及指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.
14．
【分析】
根据题意，得到为与交点的横坐标，为与交点的横坐标，再由反函数的性质，即可得出结果.
【详解】
由，由，
∴为与交点的横坐标，其中，
为与交点的横坐标，其中，
又与互为反函数，
∴，关于对称，
∴，
∴，由于，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查反函数的应用，属于常考题型.
15．
【分析】
利用反函数的性质求值即可．
【详解】
令，解得，即
故答案为：
【点睛】
本题考查反函数的应用，考查对数的运算，属于基础题．
16．（1）图象见解析；（2）．
【分析】
（1）利用指数函数和对数函数的图象和性质作图.
（2）令，由求解.
【详解】
（1）图象如图所示：
（2）令，得，
即
解得
故的零点是
17．(1)奇函数，当时，单调递增，当时，单调递减；(2)；(3)见解析.
【分析】
(1)根据函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；再根据函数单调性的定义并对底数分类讨论，可判断出在上的单调性；
(2)根据反函数的求法直接求解即可；
(3)根据可求出的值，进而可求出的值域，然后对分类讨论即可求出不等式的解集.
【详解】
(1)由，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以函数是奇函数.
对任意的，且，则
，
因为，
所以，所以，
①当时，，所以，即，
此时函数是上的单调减函数；
②当时，，所以所以，即，
此时函数是上的单调增函数.
(2)令，
所以，
所以，所以.
(3)因为，即，解得，
所以，所以，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定，反函数的求法，同时考查含参不等式的解法，属于中档题.
试卷第2 22页，总3 33页
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_