北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形同步测试 (word版 含解析)

北师大版八年级数学下册第一章1．1等腰三角形
同步测试
一．选择题
1．等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）
A．11cm
B．13cm
C．11cm或13cm
D．不确定
2．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距（　　）
A．100海里
B．80海里
C．60海里
D．40海里
4．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）
A．10
B．8
C．6
D．4
5．若等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角的度数为（　　）
A．65°、65°
B．65°、65°或50°、80°
C．50°、80°
D．50°、50°
6．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD
B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形
D．△ACD是等边三角形
7．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（　　）
A．40°
100°
B．70°
70°
C．40°
100°或70°
70°
D．以上都不对
8．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角
D．每一个角都是钝角或直角
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
10．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　）
A．有一个锐角大于45°
B．有一个锐角小于45°
C．两锐角都大于45°
D．两锐角都小于45°
二．填空题
11．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　
　度．
12．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　
　个．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且∠ABO＝60°，点Q在坐标轴上，△ABQ是等腰三角形，则满足条件的点Q共有　
　个．
14．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　
　．
15．如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为　
　秒．
16．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设　
　．
17．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　
　条．
18．用反证法证明：一个三角形中，最大的内角不小于60°，首先假设　
　．
三．解答题
19．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB＝AC．
20．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；
（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；
（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为B．以AB为一边向上作一个等边△ABC．
（1）求点C的坐标．
（2）求△ABC的周长和面积．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD＝BD．求∠A的度数．
24．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
26．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
北师大版八年级数学下册第一章1．1等腰三角形
同步测试
选择题
1．等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）
A．11cm
B．13cm
C．11cm或13cm
D．不确定
解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+3+5＝11cm，
②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+5+5＝13cm，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
2．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：C．
3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距（　　）
A．100海里
B．80海里
C．60海里
D．40海里
解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBA＝60°．
又∵BC＝BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝80海里．
故选：B．
4．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）
A．10
B．8
C．6
D．4
解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，
故选：C．
5．若等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角的度数为（　　）
A．65°、65°
B．65°、65°或50°、80°
C．50°、80°
D．50°、50°
解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：B．
6．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD
B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形
D．△ACD是等边三角形
解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
7．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（　　）
A．40°
100°
B．70°
70°
C．40°
100°或70°
70°
D．以上都不对
解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；
综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．
故选：C．
8．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角
D．每一个角都是钝角或直角
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：C．
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．
故选：D．
10．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　）
A．有一个锐角大于45°
B．有一个锐角小于45°
C．两锐角都大于45°
D．两锐角都小于45°
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两锐角都大于45°．
故选：C．
填空题
11．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　90　度．
解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
12．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　9　个．
解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且∠ABO＝60°，点Q在坐标轴上，△ABQ是等腰三角形，则满足条件的点Q共有　6　个．
解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个，Q1，Q2，Q3；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，另一个与Q2重合，故此时符合条件的点有2个，Q4，Q5；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，其中y轴上与Q2重合，此时符合条件的点有1个Q6．
∴符合条件的点总共有：3+2+1＝6个．
故答案为：6．
14．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　．
解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
15．如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为　1或3　秒．
解：如图，连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵△APQ是等腰三角形，
∴△APQ是等边三角形，
又∵Q是AC的中点，
∴AQ＝AP＝2cm，
分两种情况：
①当点P由A向B运动时，t＝＝＝1（秒）；
②当点P由B向A运动时，t＝＝＝3（秒）；
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为1或3秒．
故答案为：1或3．
16．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设　这五个数都小于　．
解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于，
故答案为：这五个数都小于
17．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　4　条．
解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故这样的直线最多可画4条．
故答案为：4．
18．用反证法证明：一个三角形中，最大的内角不小于60°，首先假设　最大的内角小于60°　．
解：∵用反证法证明在一个三角形中，最大的内角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设最大的内角小于60°．
故答案为：最大的内角小于60°．
解答题
19．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB＝AC．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，
又∵BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
20．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；
（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；
（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．
解：（1）∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD＝DC，
在三角形ABD中，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，
在三角形ADC中，AD＝DC，
∴∠C＝78°×＝39°；
（2）设∠B＝x°．
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CAB＝x°，
∵AB＝AD＝DC，
∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，
在△ABC中，x+x+x＝180，
解得：x＝72，
∴∠C＝×72°＝36°．
故∠C的度数是36°；
（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，
∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），
∵△ABD的周长为15cm
∴AB+BD+AD＝15（cm），
即AB+BD+DC＝15（cm），
∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），
∴△ABC的周长为23cm．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为B．以AB为一边向上作一个等边△ABC．
（1）求点C的坐标．
（2）求△ABC的周长和面积．
解：（1）根据题意，A点关于y轴的对称点为B，且，
故，
∴，
又∵△ABC为等边三角形，
∴，
在Rt△ACO中，根据勾股定理可得，
即点C的坐标为；
，
．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD＝BD．求∠A的度数．
解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠BDC＝∠BDA＝∠A
∴△ADB为等边三角形，
∴∠A＝60°．
24．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵BD是中线，
∴∠DBC＝∠A∠C＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBE，
∴BD＝BE．
（2）与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
理由：如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵FD⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠DFC＝∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DC＝CF＝EC，
∴EF＝2CD＝AC，
∴与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
25．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
26．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．