【物理】学科热点问题讲座5 临界状态问题的分析

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临界状态问题的分析
在高中物理中存在着大量而广泛的临界问题.所谓
临界问题是指一种物理过程或物理状态转变为另一种
物理过程或物理状态的时候，存在着分界的现象，即
所谓的临界状态，符合这个临界状态的条件即为临界
条件.满足临界条件的物理量称为临界值，在解答临界
问题时，就是要找出临界状态，分析临界条件,求出
临界值。
解决临界问题，一般有两种基本 方法：
（1）以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特殊解.
（2）直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求解出所研究问题的规律和解.
&（1）牛顿运动定律中的临界问题
&（2）圆周运动中的临界问题
&（3）电场、磁场中的平衡问题
中学物理中常见的临界状态问题的分析有如下几种情况：
【理论阐释】
牛顿运动定律中的临界问题通常出现在：
（1）物体在接触面恰好不发生相对滑动；
（2）物体恰好脱离某接触面。
前者一般隐含摩擦力为最大静摩擦力，后者隐含某弹力（支持力）为零。解决此类问题的方法是抓住满足临界值的条件，准确分析物理过程，从受力分析入手，列牛顿第二定律方程求解。
一、牛顿运动定律中的临界问题
【典例导悟】【例1】如图所示，把长方体切成质量分别为m和M的两部分，切面与底面的夹角为θ，长方体置于光滑的水平面上，设切面光滑，则至少用多大的水平推力推m，m才相对于M 滑动？
【解析】本题的临界条件是：m开始相对于M滑动，则
m对地面的压力为零。以M为研究对象，作出它的受力
分析图（如右图），
因m对地面压力为零，
故FN1=(M+m)g
正交分解得：FN2sinθ=Ma
FN1－FN2cosθ－Mg=0
解得 a=mgtanθ/M
所以F=(M+m)a=(M+m)mgtanθ/M
【例2】一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角θ=
53°的斜面顶端，如图所示，斜面静止时，球紧靠在斜
面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2的加
速度向右运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力。
【解析】设当小球刚要离开斜面时，加速度为a0,
此时小球的受力如图（1）所示
F合=mgcotθ=ma0 ,
a0 =gcotθ=7.5m/s2
a = 10m/s2>a0
此时小球已离开斜面，小球的受力情况如图（2）所示
F合= ma
T=
=
=
斜面对小球的支持力为零。
【理论阐释】
圆周运动主要涉及水平面内的圆周运动和竖直平面
内的圆周运动两大类。无论是水平面内还是竖直平面
内的圆周运动都有临界问题，对这类问题的求解一般
是通过分析找出极端状态即临界条件，再列方程求
解。
二、圆周运动中的临界问题
【典例导悟】【例1】长为l的轻绳一端系一质量为m的
小球，一端固定于O点，在O点的正下方距O点h处有一
枚钉子P，现将绳拉至水平位置，将小球由静止释放，
欲使小球到达最低点后可以以P为圆心做完整的圆周运
动，试确定h应满足的条件.
【解析】小球在运动过程中受重力及绳的拉力作用，
由于绳的拉力时刻与球的速度垂直，故绳的拉力不对
小球做功，即小球运动过程中只有重力做功，机械能
守恒，因此h 越小，C的位置越高，小球在以P 为圆心
做圆周运动时经过P点正上方的速度v越小，由于v存在
极小值，故h存在极小值，这个极小值为临界值.
设小球经P正上方位置时，速度为v，小球受重力和绳
的拉力，应用牛顿第二定律有：
l
【例2】如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂
一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴
线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，物体以
速率v绕锥体轴线做水平匀速圆周运动。
（1） 当v1= 时，求绳对物体的拉力。
（2） 当v2= 时，求绳对物体的拉力。
【解析】物体在锥面上运动，但支持力F2=0,物体只
受重力mg和绳的拉力F1作用，合力沿水平面指向轴线，
根据牛顿第二定律有：
mgtanθ=mv02/r=mv02 /(L·sinθ)
解得：ｖ0＝
(1)因为v1此时物体受力如图所示，根据牛顿第二定律有：
F1sinθ –F2cosθ=mv12/(L·sinθ)
F1cosθ +F2sinθ-mg=0
解得：F1=1.03mg
(2)因为v2>v0,所以物体与锥面脱离接触，设绳与竖
直方向的夹角为α，此时物体受力如图所示，根据
牛顿第二定律有：
F1sinα=mv02 /(L·sinα)
F1cosα-mg=0
解得：F1=2mg
【理论阐释】
带电体在电场中运动以及带电体在磁场中运动或
者通电导体在磁场中运动，当处于平衡状态时涉及有
临界问题，解决这类问题一般通过对带电体或者通电
导体的受力情况和运动情况的分析，得出满足题目要
求的临界条件，然后求出符合临界条件的临界值.
三、电场、磁场中的平衡问题
【典例导悟】 【例1】如图所示.相距d=10cm.水平放
置的平行金属板a、b，其电容量C=2μF.开始时两板不
带电，a板接地且中央有一小孔，现将带电量q=2×
10－6C、质量m=2×10－3kg的带电油滴一滴一滴地由小
孔正上方h =10cm处无初速地滴下，竖直落向b 板.把
电量全部传给b 板.求：
(1)第几滴油滴在板间做匀速直
线运动；
(2)能够到达b 板的油滴数量最
多为多少
【解析】（1)当油滴把电量全部传给b板后，由于静
电感应，a板将出现等量异种电荷，使得ab间有匀强
电场出现.带电油滴在板间运动时将受重力及电场力
作用.最初a、b板上电量较少，板间场强较小，油滴
受到的重力大于电场力，油滴加速落到b板上，随着
落到b板上的油滴不断增加，a、b板上电量越来越多，
板间场强越来越大，电场力逐渐增大，当电场力与油
滴重力相等时，油滴在板间匀速下落，这就是本问题
的临界条件.
设有n滴油滴已落到b板上，此时a、b板上的电量
Q=nq，第n+1滴油滴在板间匀速运动.则有
qE =mg…………①
而E = ………②
由①②解得n =
×10=1000(滴)
即第1001滴在板间做匀速直线运动.
(2)随着油滴不断落在b板上，板间场强不断增大，油滴在
板间做匀减速运动.当某油滴到达b板时若速度刚好减为
零，则其后的油滴将无法到达b板.
设已有K滴油滴到达b板，第K+1滴油滴到达b板时速度刚好
为零，根据动能定理有：
mg(h+d)－q =0
得K=
代入数据得K=2000.即最多有2001滴油滴落到b板上.
【例2】如图所示.两根足够长的固定平行金属导轨间距
为L.导轨平面与水平面夹角为θ，处于磁感应强度为B
的匀强磁场中，且B与导轨平面垂直，在AC端有一个阻
值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为
m，从静止开始沿导轨下滑，且与导轨的动摩擦因数为
μ，不计其余电阻.求ab在导轨上下滑的最大速率.
【解析】ab在下滑过程中受重力mg、与支持力N、摩擦
力f及安培力F作用，其受力如图所示，最初ab棒下滑的
速度较小，安培力F较小，ab棒沿导轨向下做加速运
动，随着ab棒的速度越来越大，安培力越来越大.ab棒
下滑的加速度越来越小，当加速度为零时速度达到最
大，因此满足最大速度的临界条件是加速度为零,即棒
受的合外力为零，由平衡条件有
F+f－mgsinθ=0
而F=BIL, f=μmgcosθ
I=
解得最大速率
vm=