(共22张PPT)
17.2
勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定
理的概念、关系及勾股数.(重点)
2.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.(难点)
1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么__________.
2、三边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形满足的关系是___________,它是一个_______三角形.
一、复习引入
思考
以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形,可不可以通过边来确定直角三角形呢?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
如果将条件和结论反过来,这个命题还成立吗?
逆命题、逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这
两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做
原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那
么它也是一个定理,称其为原定理的逆定理,
这两个定理称为互逆定理.
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗?
(1)两条直线平行,内错角相等;
(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;
(1)内错角相等,两直线平行;
成立
(2)如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等;
不成立
全等三角形的对应角相等;
对应角相等的三角形全等
.
在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题2
这三组数在数量关系上有什么相同点?
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题2
这三组数在数量关系上有什么相同点?
(勾股定理的逆定理)
如果三角形的三边长a、b、c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是_______
三角形.
已知:△ABC的三边长分别为a、b、c,且a2+b2=c2.
求证:∠C=90°
证明:作Rt△A'B'C',使∠C′=
90°,
∵A'B'2=B'C'2+A'C'2=
________=____
∴A'B'
=_______
______________
______________
______________
在△ABC和△A'B'C'中
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
作用
例:下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?
(1)
a=15
,
b=8
,c=17;
(2)
a=13
,b=14
,c=15.
(3)a=7,b=24,c=25;
(4)a=
,b=4,c=5;
解:(1)因为a2+b2=49+576=625,
c2=252=625
a2+b2=c2
所以,根据勾股定理的逆定理,a、b、c组成的三
角形是直角三角形
分析:只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
练一练
1.如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?
2
在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,
c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )
A.∠A为直角
B.∠B为直角
C.∠C为直角
D.△ABC不是直角三角形
A
3
五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,
20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,
其中正确的是( )
C
解:由题意得:(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0,∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
4.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足
,试判断△ABC的形状.
当a=b时,△ABC为等腰三角形;
当a≠b时,△ABC为直角三角形.
5.若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5,是判断△ABC的形状.
解:设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形,且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:
1.先设出参数,表示出三条边的长,
2.再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.
3.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形。
6、如图,在四边形ABCD是,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.
7.“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
8.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则
=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
A
9.写出下列命题的逆命题,并断定其逆命题的真假性.
(1)如果两个角是直角,那么它们相等.
(2)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(3)如果
,那么a≥0.
1.你有什么收获?
2.你有什么疑问?
3.完成课后习题。