2019-2020学年安徽省阜阳市九年级上册期末数学试卷（Word版 含解析）

2019-2020学年安徽省阜阳市九年级上册期末数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
已知，则的值为?????
A.
B.
C.
D.
用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程可以是?
A.
B.
C.
D.
如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则的度数是
A.
B.
C.
D.
已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为?
?
?
A.
B.
2
C.
D.
4
桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是两人做游戏，游戏规则：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有K，则红方胜，否则蓝方胜则
A.
红方胜的机会大
B.
蓝方胜的机会大
C.
两方胜的机会一样大
D.
无法确定谁胜的机会大
已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是
A.
B.
C.
D.
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人．
A.
12
B.
11
C.
10
D.
9
若，相似比为，则与的面积比为
A.
B.
C.
D.
我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD是黄金矩形且长，则宽BC为
A.
B.
C.
D.
如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；；；；的实数其中正确结论有
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
二次函数的图象的顶点坐标为______．
已知∽，且，，则______．
若抛物线与x轴只有一个交点，则k的值______．
如图，在等边内有一点D，，，，将绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则的正切值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
解下列方程：
．
小明在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，小明猜想：对于任意锐角，均有．
当时，验证是否成立．
小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
初三班要从甲、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．
已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；
随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．
如图，在中，，，点D是BC上一点，且．
求BD的长；
求．
如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
以O为位似中心，请画出将放大后的图形，使与对应线段的比为所画与在原点两侧．
写出点和的坐标．
已知，如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点，
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解．
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且．
求证：．
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多卖5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为P，连接AC．
求此抛物线的解析式；
抛物线对称轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值即可得到答案．
【解答】
解：，
则，
故选B．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：连接PA，如图所示：
四边形ABCD是菱形，
，BD所在直线是菱形的对称轴，
，
的垂直平分线交对角线BD于点P，
，
，
，
；
故选：B．
由菱形的性质得出，，再由线段垂直平分线的性质得出，证出，得出，由外角性质即可求出．
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于k的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，可能性的大小，关键是用树状图列举出所有情况，根据树状图求得2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，若相等，则机会一样大；情况数多的赢的机会也大即可．
【解答】
解：设其余3张扑克牌分别为A，B，画树状图如下：
由树状图，可知共有12种等可能的结果，其中含有K的结果有6种，不含K的结果也有6种，所以两方胜的机会一样大，故选C．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：，
，
即y是x的反比例函数，图象是双曲线，
，，
函数图象是位于第一象限的曲线；
故选：C．
根据题意得出y是x的反比例函数，容易得出函数的图象．
本题考查了矩形面积的计算、反比例函数的性质以及图象；熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程有关知识，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得，即，
解方程得，舍去．
即每轮传染中平均一个人传染了10个人．
故选C．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．由相似与的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得与的面积比．
【解答】
解：相似与的相似比为1：3，
与的面积比为1：9．
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查黄金分割的概念，根据黄金比值是列出算式，计算即可得到结果．
【解答】
解：由题意得，
又，
．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：对称轴在y轴的右侧，
，
由图象可知：，
，
故不正确；
当时，，
，
故正确；
由对称知，当时，函数值大于0，即，
故正确；
，
，
，
，
，
故不正确；
当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，
故正确．
故正确．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：抛物线解析式为，
二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为
因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了二次函数性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标对称轴，最大最小值，增减性等．
12.【答案】
【解析】解：∽，且，，
．
故答案为：．
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握决定抛物线与x轴的交点个数．根据抛物线与x轴只有一个交点时，解之可得答案．
【解答】
解：抛物线与x轴只有一个交点，
，
解得：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，于是可判断为等边三角形，得到；过E点作于H，如图，设，则，利用勾股定理得到，解得，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．
【解答】
解：为等边三角形，
，，
绕A点逆时针旋转得，
，，，
为等边三角形，
，
过E点作于H，如图，设，则，
在中，，
在中，，
，解得，
，
在中，，
即的正切值为．
故答案为：．
15.【答案】解：，
，
则或，
解得：，；
，
，，，
则，
，
即，．
【解析】因式分解法求解可得；
公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16.【答案】解：当时，
；
小明的猜想成立，证明如下：
如图，在中，，
设，则，
．
【解析】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
将代入，根据三角函数值计算可得；
设，则，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
17.【答案】解：另外1人恰好选中乙的概率是；
画树状图为：?
?
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，?
所以恰好选中甲和乙的概率是．
【解析】本题主要考查概率公式及列举法求概率，熟练掌握概率的计算方法是解决问题的关键．
直接根据概率公式求解?
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
18.【答案】解：过点A作于点E，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
过点D作于点F，
在中，，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义．
过点A作于点E，求出CE，BE，再由，可求出BD的长度．
过点D作于点F，在中求出DF，BF，继而可得AF，从而可求．
19.【答案】解：如图，为所作；
点、的坐标分别为，．
【解析】本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤，先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
延长AO到，使；延长BO到，使，从而得到；
根据中所画图形写出、的坐标．
20.【答案】解：把A点坐标分别代入，，得，，解得，，
反比例函数、一次函数的解析式分别为，．
如图，当时，，
，
又当时，，，
．
．
不等式的解是或．
【解析】根据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出即可；把代入所求的反比例函数的解析式得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
将三角形AOB分割为，求出即可．
根据函数的图象和交点坐标即可求得．
此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键．
21.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，．
，
≌．
；
≌，
，
且，
．
．
．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形，并证明三角形全等是解题的关键．
根据正方形的性质可得，，由SAS证得≌，从而得到；
由全等三角形对应角相等可知，又因为，，可得，即．
22.【答案】解：设每件降价x元，
那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件；
根据每天要盈利1600元，
可列方程为：．
解得：或．
答：每件应降价4或36元．
【解析】如果设每件降价x，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利1600元，即可列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要弄清题意，理解：每件降价x元，可多销售5x件．
23.【答案】解：抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
点，
，解得，
抛物线的解析式为，即；
抛物线的解析式为；
其对称轴，顶点P的坐标为
点M在抛物线的对称轴上，
设，
，，
设过点A、P的直线解析式为，
，解得，
直线AP的解析式为，
，
，
，
，解得，
当点M在P点上方时，，解得，
此时；
当点M在P点下方时，，解得，
此时，
综上所述，，．
【解析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．
设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可；
根据中抛物线的解析式求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出M点的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，求出E点坐标，故可得出的面积，进而可得出M点的坐标．
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