初二数学导学案（3）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（1）
【学习目标】让学生懂得三角形全等必须具备三个条件；理解“边角边”公理，学会用它来判定两个三角形全等。
【知识梳理】
1.复习引入：
是全等三角形，
全等三角形的性质
。
2.阅读课本13页的讨论中的问题根据问题画出相应图形
（1）画△ABC，使AB=2cm,你画的△ABC与你同桌画的一样吗？
画△DEF，使∠D=70°,你画的△DEF与你同桌画的一样吗？
（2）画△ABC，使AB=2cm,
AC=3cm你画的△ABC与你同桌画的一样吗？
画△DEF，使∠D=70°,
∠E=50°你画的△DEF与你同桌画的一样吗？
画△MON，使∠O=70°,MN=2cm你画的△DEF与你同桌画的一样吗？
归纳总结：只知道一个或两个条件是
（能或不能）画全等三角形的，画全等三角形至少需要
个条件.
2.阅读课本13页交流部分思考如何剪才能使得全班同学所得的直角三角形全等，
方法：
3.在△ABC中，已知AB=3cm，∠A=60°，AC=2cm，你画的△ABC与其他同学画的全等吗？
实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实：
两个三角形全等，简写成“边角边”或“
”。
【例题闯关】
例1．如图，AB=AD，AC平分∠BAD.证明：△ABC≌
△ADC.
例2.如图，AB=AD，∠BAC’=∠DAC,AC=AC’.
证明：△ABC≌
△ADC’.
【综合探究】
已知，如图，AD=CB,
AD∥CB.
证明：△ADC≌△CBA.
【当堂检测】
1.如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,根据SAS，要使ΔABC≌ΔABD,可补充的一个条件是
(第1题)
(第2题)
(第
3题)
2．如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,
根据SAS，请你增加一个条件是
3.如图，
AC、BD相交于点O，OA=OD,用“SAS”证△ABO≌△DCO还需（
）
A、AB=DC
B、∠A＝∠D
C、OB=OC
D、∠AOB＝∠DOC初二数学导学案（4）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（2）
【学习目标】知道三角形全等“边角边”的内容,会运用“SAS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件．
【知识梳理】
回忆：判定三角形全等的一个基本事实：
。
2.
如图，E，F在BC上，
请只补充三个条件，使得△ABF≌
△DCE
，并给出证明
。（至少给出两种）
【例题闯关】
例1.
如图，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求证：∠B=∠C
例2．如图，已知AE＝AF，AB＝AC，，.求的度数。
【综合探究】
如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．
（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）
【当堂检测】
1．如图1，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对全等三角形
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
(1)
(2)
2．如图2，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是（
）
A．AB∥CD
B．AD∥BC
C．∠A=∠C
D．∠ABC=∠CDA
3．如图，已知AB=AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？
A
C
O
B
E
F初二数学导学案（5）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（3）
【学习目标】掌握三角形全等的“角边角”的条件，并能利用“角边角”这个条件判别两个三角形是否全等
【知识梳理】
用纸板挡住了两个三角形的一部分，请你试着画出
这两个三角形。图
中的三角形不能画出，
你能画出图
中的三角形，在图①中的三角形知道
哪些元素
，图②中的三角形知
道哪些元素
①
②
如图，小明不慎把一块三角形玻璃打碎成两块，
小明应该带
到商店才能配一块与原来一样
的三角形玻璃。
在①中知道的元素是
，
①
②
在②
中知道的元素是
按照课本作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠A=∠，∠B=∠。
作图：
上述实践告诉我们判定两个三角形全等的又一基本事实：两角及其
分别相等的两个三角形全等（简写成“
”或“
”）
【例题闯关】
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E，
求证：△ABC≌△BDE。
如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED
【综合探究】如图，相交于点，，试添加一个条件使得，你添加的条件是
，并说明理由。
【当堂检测】
1.如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交
AC于F，若∠1=∠2，∠B=∠ADE，AB=AD，则（
）
A、△ABC≌△AFE
B、△AFE≌△ADC
C、△AFE≌△DFC
D、△ABC≌△ADE
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD
3．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，AB=3cm，求DE的长.
A
C
B
D
O初二数学导学案（6）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（4）
【学习目标】掌握三角形全等的“角角边”的条件，并能利用“角角边”这个条件判别两个
三角形是否全等.
【知识梳理】
1.19页图1-12中，△ABC与△MNP全等吗？
，请写出证明过程。
证明：
2.通过上题的证明，可以得到有“ASA”的推论：两角分别相等且其中一组等角的
相
等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）
3.例5中通过证明
，得出AD=A/D/，证明这两个三角形全等的条件是
，请你再用另一种方法证明这两个三角形全等。
证明：
例5的图1-13中，共有
对全等三角形，它们是
4.图1-13中，如果AD、A/D/分别是△ABC和△A/B/C/的角平分线，请证明
AD=A/D/。
证明：
【例题闯关】
例1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD交BD于点E，CF⊥BD交BD于点F，且AE=CF，求证：DF=BE。
例2.如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：AB=AC，AD=AE
【综合探究】
如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC，交AB于点E，求证：△ABC≌△MED.
【当堂检测】
1.如图，AB=DC，AB⊥AC，CD⊥BD，那么AO与DO之间的关系是（
）
A、一定相等
B、可能相等也可能不相等
C、一定不相等
D、增加条件后，它们相等
2.
如图，∠ABC=∠ADE=90°，AB=AD，利用“AAS”证明△ABC≌△ADE，你补充的
条件是
3.
如图，AB∥CD，AD∥BC，E为BD上任意一点，说明△ADB≌△CBD。
（第1题）
（第2题）
（第3题）初二数学导学案（7）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（5）
【学习目标】能熟练运用ASA、AAS解决一些证明题,了解推出符号的含义和使用。
【知识梳理】
1.如图，∠A=∠B，∠1=∠2，EA=EB.证明：AC=BD.
2.如图，点C、F在AD上，且AF=DC，∠B=∠E，∠A=∠D。证明：AB=DE.
【例题闯关】
例1.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB,
求证：AB=CD
例2.如图，AB//DC，AD//BC,BF⊥AC，DE⊥AC垂足为F、E.
试说明：BF＝DE
【综合探究】
如图，∠DCE=900，∠DAC=900，BE⊥AC于B，且DC=EC，
请找出与AB+AD相等线段，并说明理由.
【当堂检测】
1．如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个条件，使得△ABC≌△DCB,
这个条件可以是_________,或_______，或
。
2．如图：∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？初二数学导学案（8）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（6）
【学习目标】通过画图、操作等教学活动，探索三角形全等的判定方法（SSS)，会用SSS判定两个三角形全等.
【知识梳理】
1．按下列步奏作图
（1）作线段BC=a
（2）分别以B、C为圆心，c、b为半径画弧，两弧相交于A点。
（3）连接AB、AC
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？
2．实践告诉我们判定两个三角形全等的第三个基本事实：
3．如果一个三角形三边长度确定，那么这个三角形的
和
就完全确定，这个性质叫做三角形的
性。
4．四边形不具有
性。
【例题闯关】
例1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C
问题：还有不同的方法证明∠B=∠C吗？如果有，请写出证明过程
例2．已知：如图，BE=CF，AB=DE，AC=DF。求证：△ABC≌△DEF
【综合探究】
为参加学校举行的风筝设计比赛,小明用四根竹棒扎成如图的风筝框架,已知AB=CD,AC=DB,你认为小明的风筝的两脚大小相等(即∠B=∠C)吗?试说明理由.
【当堂检测】
1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，
则由“SSS”直接可以判定
(
)
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
2.如图，已知AB=DC,AC=DB.求证：△ABC≌△DCB
3．已知：如图AB=AD，
BC=DC，求证：∠B=∠D初二数学导学案（9）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（7）
【学习目标】会用直尺和圆规画角平分线，知道作法的依据是“SSS”；并了解全等三角形在
生活中的应用。
【知识梳理】
1.如图，OC=OD，CM=DM,求证：OM平分∠AOB.
2．用直尺和圆规画已知角的平分线
3．用直尺和圆规过已知直线AB外一点P作AB的垂线。
【例题闯关】
例1.用直尺和圆规画图(不写画法,保留作图痕迹).
1．把∠MON四等分
2.作△ABC的角平分线CE
例2.(1)用直尺和圆规过直线AB上一点P作直线AB的垂线。(不写画法,保留作图痕迹).
(2)用直尺和圆规过点B作BC的垂线，并指出∠ABC的余角。
【综合探究】
已知：是的角平分线，是上的一点，交于，交于，是上的另一点，连结、，你能说明吗?
【当堂检测】
1.用直尺和圆规画的角平分线AD和高CE（不写画法，保留痕迹）
2.如图，厂房屋顶人字架△ABC（等腰三角形），上弦
AB=AC，中柱AD（D为底边的中点）中柱AD与BC垂直吗？为什么？初二数学导学案（10）
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【课
题】1.3探索三角形全等的条件（8）
【学习目标】理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法
【知识梳理】
1．直角三角形可用符号
表示。
2．思考：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
3．按照书27页的操作部分的作法，用圆规和直尺作图
画一个直角三角形
按同样要求再画一个直角三角形
用刻度尺、量角器度量两个三角形的三边、角，发现边的关系 ，角的关系： ，由此得到两个三角形的关系： 。
4．阅读课本“讨论”，通过拼图，把两个直角三角形的边
重合，得平角
，即
三点共线，从而两个直角三角形拼成一个三角形
，可证得
，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，由条件
，
可证明Rt△ABC≌Rt△A1B1C1。
5．语言概括定理：
6．总结：两个直角三角形全等的判定方法共有：
【例题闯关】
例1．如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要证明△ABC≌△ABD，还需什么条件？
变式：如图，AC=AD，∠C=∠D=90°.
（1）试说明：AB是∠DBC的平分线.
（2）如果连结DC交AB于点O，线段AB、CD有什么位置关系？为什么？
例2．△ABC中，AB=AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
（1）你能找出图中的全等三角形吗？并说明理由。
（2）图中共有多少对相等线段？一一把它找出来。
【综合探究】
如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE。
(1)
试证明：∠1=∠C
(2)
猜想并说明BE和AC有何特殊关系？
【当堂检测】
1.如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在括号内填上判定它们全等的理由：
①______
_____（
）
②_______
____（
）
③_____
______（
）
④_____
______（
）
2．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，EC=BF，AB=DC．
证明：∠ACE=∠DBF．
B
D
C
A
