北师大版 九年级下册数学 3.3垂径定理 同步测试（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版 九年级下册数学 3.3垂径定理 同步测试（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 221.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-13 10:18:09 | ||
图片预览
文档简介
3.3垂径定理
同步测试
一．选择题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．5
3．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（ ）
A．cm
B．3
cm
C．cm
D．cm
4．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或120°
5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（﹣3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝﹣x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆O的半径为5，P是圆O内一点，且OP＝3，过点P作圆O的一条弦AB，则AB值不可以是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
8．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．2.5
10．如图，以M（4，0）为圆心，3为半径的圆与x轴交于点A、B，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA与PB分别交y轴于点C、D，以CD为直径的⊙N交x轴于点E、F，则EF的长（ ）
A．2
B．5
C．2
D．不能确定
二．填空题
11．直线l：m（2x﹣y﹣5）+（3x﹣8y﹣14）＝0被以点A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦的长为
．
12．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为
．
13．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝
．
14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，则这个圆形截面的半径为
cm．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是
．
三．解答题
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
参考答案
一．选择题
1．解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
2．解：连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
3．解：过O作OC⊥AB于C，
则∠OCP＝∠ACO＝90°，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm，
∵BP＝2cm，
∴PC＝BC+BP＝6cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），
在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm），
故选：D．
4．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选：C．
5．解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图：
∵⊙P的圆心坐标是（﹣3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝﹣x得：y＝﹣3，
∴D点坐标为（3，﹣3），
∴CD＝OC＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝1，
∴PD＝PE＝，
∴PC＝CD+PD＝3+，
即a＝3+，
故选：B．
6．解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC＝2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC?AB﹣（S半圆AD+S半圆BC﹣S）＝S，即2AB﹣π?12+S＝S，
∴AB＝．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP＝AB＝，
∴EP＝＝＝，
∴EF＝2EP＝．
故选：D．
7．解：过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．
∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝4，
∵OP⊥CD，
∴PC＝PD＝4，
∴CD＝8，
∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，
故选：A．
8．解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故选：D．
9．解：设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
10．解：∵M（4，0），AB＝6，
∴AM＝BM＝3，
∴OA＝1，
∵CD⊥EF，
∴OE＝OF，设OE＝OF＝x，
∵∠COA＝∠APB＝90°，
∴C，O，P，B四点共圆，
∴AP?AC＝AO?AB，
∵AE?AF＝AC?PA，
∴AE?AF＝OA?AB，
∴（x+1）（x﹣1）＝1×6，
∴x2＝7，
∴x＝，
∴EF＝2OE＝2，
故选：A．
二．填空题
11．解：解方程组，
解得：，
则直线l一定经过点B（2，﹣1）．
AB＝＜2，
∴B一定在⊙A的内部，当直线l与AB垂直时，直线l截得⊙A所得的弦最短，
∴最短的弦长是：2＝2．
故答案为：2．
12．解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∵AB＝5，
∴AD＝4，
∴BD＝＝＝3，
在Rt△OBD中，OB＝，BD＝3，
∴OD＝＝1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD+OD＝4+1＝5；
当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，
故OA的长为3或5．
故答案为3或5．
13．解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB、OD，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝OF＝6，
∴OP＝＝6，
故答案为：6．
14．解：设此圆形截面所在圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，交弧于点C，
则CD＝4cm，AD＝AB＝×16＝8（cm），
设这个圆形截面的半径为rcm，
则OD＝OC﹣CD＝r﹣4（cm）
∵在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
故这个圆形截面的半径为10cm．
故答案为：10．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题
16．证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
17．解：设这段弯路的半径为r
m，
∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），
∴BD＝DA＝AB＝50（m）
∵CD＝10（m），
得OD＝r﹣10（m）．
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2
即r2＝502+（r﹣10）2
解得r＝130（m）．
答：这段弯路的半径为130
m．
18．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．
同步测试
一．选择题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．5
3．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（ ）
A．cm
B．3
cm
C．cm
D．cm
4．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或120°
5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（﹣3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝﹣x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆O的半径为5，P是圆O内一点，且OP＝3，过点P作圆O的一条弦AB，则AB值不可以是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
8．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．2.5
10．如图，以M（4，0）为圆心，3为半径的圆与x轴交于点A、B，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA与PB分别交y轴于点C、D，以CD为直径的⊙N交x轴于点E、F，则EF的长（ ）
A．2
B．5
C．2
D．不能确定
二．填空题
11．直线l：m（2x﹣y﹣5）+（3x﹣8y﹣14）＝0被以点A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦的长为
．
12．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为
．
13．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝
．
14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，则这个圆形截面的半径为
cm．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是
．
三．解答题
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
参考答案
一．选择题
1．解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
2．解：连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
3．解：过O作OC⊥AB于C，
则∠OCP＝∠ACO＝90°，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm，
∵BP＝2cm，
∴PC＝BC+BP＝6cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），
在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm），
故选：D．
4．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选：C．
5．解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图：
∵⊙P的圆心坐标是（﹣3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝﹣x得：y＝﹣3，
∴D点坐标为（3，﹣3），
∴CD＝OC＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝1，
∴PD＝PE＝，
∴PC＝CD+PD＝3+，
即a＝3+，
故选：B．
6．解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC＝2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC?AB﹣（S半圆AD+S半圆BC﹣S）＝S，即2AB﹣π?12+S＝S，
∴AB＝．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP＝AB＝，
∴EP＝＝＝，
∴EF＝2EP＝．
故选：D．
7．解：过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．
∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝4，
∵OP⊥CD，
∴PC＝PD＝4，
∴CD＝8，
∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，
故选：A．
8．解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故选：D．
9．解：设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
10．解：∵M（4，0），AB＝6，
∴AM＝BM＝3，
∴OA＝1，
∵CD⊥EF，
∴OE＝OF，设OE＝OF＝x，
∵∠COA＝∠APB＝90°，
∴C，O，P，B四点共圆，
∴AP?AC＝AO?AB，
∵AE?AF＝AC?PA，
∴AE?AF＝OA?AB，
∴（x+1）（x﹣1）＝1×6，
∴x2＝7，
∴x＝，
∴EF＝2OE＝2，
故选：A．
二．填空题
11．解：解方程组，
解得：，
则直线l一定经过点B（2，﹣1）．
AB＝＜2，
∴B一定在⊙A的内部，当直线l与AB垂直时，直线l截得⊙A所得的弦最短，
∴最短的弦长是：2＝2．
故答案为：2．
12．解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∵AB＝5，
∴AD＝4，
∴BD＝＝＝3，
在Rt△OBD中，OB＝，BD＝3，
∴OD＝＝1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD+OD＝4+1＝5；
当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，
故OA的长为3或5．
故答案为3或5．
13．解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB、OD，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝OF＝6，
∴OP＝＝6，
故答案为：6．
14．解：设此圆形截面所在圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，交弧于点C，
则CD＝4cm，AD＝AB＝×16＝8（cm），
设这个圆形截面的半径为rcm，
则OD＝OC﹣CD＝r﹣4（cm）
∵在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
故这个圆形截面的半径为10cm．
故答案为：10．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题
16．证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
17．解：设这段弯路的半径为r
m，
∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），
∴BD＝DA＝AB＝50（m）
∵CD＝10（m），
得OD＝r﹣10（m）．
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2
即r2＝502+（r﹣10）2
解得r＝130（m）．
答：这段弯路的半径为130
m．
18．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．