3.8圆内接正多边形
同步习题
一．选择题
1．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，M是边DE上一点，则线段AM的长可以是（ ）
A．1.4
B．1.6
C．1.8
D．2.2
2．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
3．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（ ）
A．90°
B．85°
C．84°
D．80°
4．如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是，那么它是（ ）
A．等边三角形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
5．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）
A．
B．2cm
C．2cm
D．4cm
6．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A、D为圆心，以AB长为半径画、．若AB＝a，则阴影部分图形的面积为（ ）（结果保留到0.01，参考：sin72°≈0.951，tan36°≈0.727）
A．0.45a2
B．0.3a2
C．0.6a2
D．0.15a2
8．如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（ ）
A．3：5
B．2：
C．4：3
D．5：4
9．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥CD，N为OM的中点，则S△NCB：S△NBA等于（ ）
A．2：3
B．3：5
C．4：7
D．5：9
10．如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点，∠APD的度数分别为60°，90°，108°．若其余条件不变，在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．140°
D．144°
二．填空题
11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为
．
12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了
周．
13．如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为
．
14．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为
．
15．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，点P在CD上，则△PGH的面积为
．
三．解答题
16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
17．如图，⊙O的周长等于
8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
18．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是
；图2中，∠APN的度数是
，图3中∠APN的度数是
．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AE，AD，BD，过点F作FH⊥AE于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE＝120°，
∴∠FAH＝30°，
∴HF＝AF＝，
∴AH＝＝，
∴AE＝2AH＝，
∵AD是正六边形ABCDEF外接圆的直径，
∴AD＝2，
∴＜AM＜2，
故选：C．
2．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
3．解：由正五边形内角，得
∠I＝∠BAI＝＝108°，
由正六边形内角，得
∠ABC＝＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABK＝60°，
∴由四边形的内角和，得
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°．
故选：C．
4．解：∵一个外角为锐角，且其余弦值为，
∴这个一个外角＝30°，
∴360÷30＝12．
故它是正十二边形．
故选：D．
5．解：如图所示，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝∠BOC＝×60°＝30°，
∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝BC＝×2＝1cm，
∴OB＝＝2cm，
∴OG＝＝＝，
∴圆形纸片的半径为cm，
故选：A．
6．解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
7．解：如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC，
连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H，
则∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝54°，
∴∠EAF＝72°，
∴∠BAF＝36°，
∵AE＝AF＝AB＝a，
∴sin72°＝＝＝0.951，
∴EH＝0.951a，
∴S弓形EF＝S扇形EAF﹣S△AEF＝﹣a?0.951a＝﹣0.951a2＝0.1528a2，
∵S扇形EAB＝＝＝0.942a2，
∴S空白＝2×（0.942a2﹣2×0.1528a2）＝1.2728a2，
∵∠BOG＝36°，BG＝a，
∴OG＝＝＝，
∴S△OBC＝BC?OG＝a×，
∴正五边形ABCDE的面积＝5S△BOC＝×＝1.719a2，
∴阴影部分图形的面积＝正五边形ABCDE的面积﹣S空白≈0.45a2，
故选：A．
8．解：连接BF，AD交于Q，BF交GM于P，
则BF⊥AD，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠AGH＝∠AFQ＝30°，
设正六边形ABCDEF的边长为2a，FP＝x，
∴PG＝x，AQ＝a，
∴GM＝2a+，HG＝2a﹣2x，
∵若图中4块阴影的面积相等，
∴×（2a﹣2x）×（a﹣x）＝（2a++2a）x，
解得：x＝a，
GH＝2a﹣a＝a，GM＝2a+a＝a，
∴该矩形的长与宽之比为＝3：5，
故选：A．
9．解：如图，连接CF、ND、NE，过N作直线PQ⊥AB，
由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，
由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥CD，
∴点C和点D，点E和点B关于直线OM对称，
∴DN＝CN，BN＝EN，
∵DE＝BC，
∴△BCN≌△EDN（SSS），
∴PK＝KQ＝OM＝2ON，
又因为∠NOK＝∠COM＝30°，KN＝ON，令EN＝1，从而得，PN＝PK+KN＝5，NQ＝KQ﹣KN＝3，
∴S△NCB：S△NBA＝PN：NQ＝3：5．
故选：B．
10．解：正△ABC时，∠APD＝∠ABC＝＝60°，
正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC＝＝90°，
正五边形时，∠APD＝∠ABC＝＝108°，
正六边形时，∠APD＝∠ABC＝＝120°，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝．
当n＝9时，∠APD＝∠ABC＝＝140°，
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
而360°÷40°＝9，
∴这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
12．解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，
∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，
∴圆在边上转了4×5＝20圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，
∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．
故答案为：21．
13．解：∵剪去三个三角形，得到正六边形，
∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形；
即：AD＝DE＝AE＝FC＝FG＝GC，
∵正六边形DEFGHK中，DE＝EF＝FG＝HG＝HK＝KD，
∴AE＝EF＝FC，
∴剪去的小正三角形的边长＝4．
故答案为：4．
14．解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：
则∠AEO＝∠AED＝90°，
∵∠AOD是正八边形的中心角，
∴∠AOD＝＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OE＝OA＝1，
∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，
∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
15．解：作正八边形的外接圆O，
则∠HGD＝×360°＝90°，∠FGD＝×360°＝45°，
在正八边形ABCDEFGH中，CD∥HG，
∴S△HGP＝S△CDH，
过F作FM⊥DG于M，过E作EN⊥DG于N，
在Rt△GMF中，∠FGD＝45°，GF＝，
∴GM＝GF＝1，
同理，DN＝1，
∵MN＝EF＝，
∴GD＝1++1＝2+，
∴S△HGP＝S△HGD＝HG?GD＝．
故答案为：+1．
三．解答题
16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
17．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
18．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．3.9弧长及扇形的面积
同步习题
一．选择题
1．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2π
2．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为3cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．12πcm2
B．24πcm2
C．36πcm2
D．48πcm2
3．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A．
B．
C．π
D．
4．如图，长方形ABCD中，AB＝3BC，且AB＝9cm，以点A为圆心，AD为半径作圆交BA的延长线于点M，则阴影部分的面积等于（ ）
A．（π+9）cm2
B．（π+18）cm2
C．（π+9）cm2
D．（π+18）cm2
5．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣
B．2﹣
C．4+
D．2+
6．如图，已知⊙O的直径AB＝6，点C、D是圆上两点，且∠BDC＝30°，则劣弧BC的长为（ ）
A．π
B．
C．
D．2π
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A．
B．π
C．
D．
8．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．3π
9．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣
B．π﹣2
C．π﹣
D．π﹣2
10．如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．27π﹣
B．27π
C．
D．9π
二．填空题
11．已知弧长为3π，半径为6的扇形面积
．
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，AB＝，以点C为圆心，CD为半径画弧DB，则阴影部分的面积是
．
13．如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，若AB＝5，则图中阴影部分的面积为
．
14．如图，点C在上．若AB＝1+，AC＝，∠BAC＝45°，则的长度为
．
15．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝
．（结果保留π）
三．解答题
16．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝50°，连接BD．
（1）求∠A的度数；
（2）当⊙O的半径等于2时，请直接写出的长（结果保留π）
18．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠COB＝80°，
∵OA＝6，
∴的长为＝π，
故选：C．
2．解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝3cm，
∵AC＝BD＝12cm，
∴OA＝OB＝15cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝36π（cm2），
故选：C．
3．解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，
∴扇形AEF的面积＝＝．
故选：A．
4．解：阴影部分的面积＝扇形MAD的面积+矩形ABCD的面积﹣△CMB的面积
＝+3×9﹣×3×12
＝（π+9）cm2，
故选：C．
5．解：连结AD．
∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴∠C＝60°，AB＝4，
∵AD＝AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．
故选：A．
6．解：∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°
根据弧长公式l＝可得：
劣弧BC长为＝π，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝，
故选：C．
8．解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，
即的长是3+3＝6，
∴扇形DAB的面积是6×3＝9，
故选：C．
9．解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，
故选：D．
10．解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，
∴阴影面积＝﹣＝9π．
故选：D．
二．填空题
11．解：，
故答案为：9π
12．解：如图，作DH⊥BC于H．
在Rt△CDH中，
∵CD＝AB＝，∠C＝∠A＝45°，
∴DH＝CD?sin45°＝1，
∴S阴＝S菱形ABCD﹣S扇形CDB＝×1﹣＝﹣，
故答案为﹣．
13．解：作DM⊥AB于M，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，AB＝5，
∴△AED的面积＝△ABC的面积，∠BAD＝45°，AB＝AD＝5，
∴DM＝AD＝，
∴S△ABD＝＝×＝，
∵图中阴影部分的面积＝△AED的面积+△ADB的面积﹣△ABC的面积＝△ADB的面积，
∴S阴影＝，
故答案为：．
14．解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，过点C作CT⊥AB于T．
∵∠CTA＝90°，∠CAT＝45°，AC＝，
∴AT＝TC＝1，
∵AB＝1+，
∴BT＝，
∴tan∠CBT＝＝，
∴∠CBT＝30°，
∴∠AOC＝2∠CBT＝60°，∠COB＝2∠CAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝，∠AOB＝150°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
15．解：由图可知，
S1+S3＝π×42×＝4π，
S2+S3＝6×6﹣π×62×＝36﹣9π，
∴（S1+S3）﹣（S2+S3）＝4π﹣（36﹣9π）
即S1﹣S2＝13π﹣36，
故答案为：13π﹣36．
三．解答题
16．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
17．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）连接OB、OD，如图，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴的长＝＝π．
18．（1）证明：连接OB，如图，
∵⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠A+2∠C＝90°；
（2）解：在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，
作OH⊥BC于H，则BH＝CH，
∵∠C＝∠AOB＝30°，
∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD
＝×6×+
＝3+2π．
