苏科版八年级数学下册：9.3 平行四边形(3)课件（共15张PPT）

9.3 平行四边形（3）
判定1：（定义）
∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定2：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定3：
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定4：
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1.平行四边形有哪些性质？
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB//CD；
AB＝DC，AD＝BC；
∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;
AO＝CO，BO＝DO.
2.判定四边形是平行四边形的条件有哪些？
画□ABCD，使AB=2㎝，BC=3㎝，AC=4㎝。想一想，画出ΔABC后，你能用哪些方法确定点D的位置？说明理由。
分析：如何画ΔABC？如何确定点D的位置？理由是？
根据SSS，画出ΔABC。
1、画线段AC=4㎝；
2、分别以A、C为圆心，2㎝，3㎝为半径画弧；两弧相交于点B;
3、连接AB、BC,即得到ΔABC。
画□ABCD，使AB=2㎝，BC=3㎝，AC=4㎝。想一想，画出ΔABC后，你能用哪些方法确定点D的位置？说明理由。
判定1：∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定2： ∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定3： ∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定4： ∵AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
变式：画出ΔABC，使AB=2㎝，BC=3㎝，AC=4㎝。确定一点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
以AC为对角线
□ABCD
分析：可以以ΔABC的三条边中哪一条是平行四边形的对角线进行分类，先确定平行四边形四个顶点的顺序。
以BC为对角线
□ABDC
以AB为对角线
□ACBD
如果OA=OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形.试证明这个结论。
证明：
假设四边形ABCD是平行四边形，
那么OA=OC,BO=OD,
这与条件“OB≠OD”矛盾.
所以四边形ABCD不是平行四边形.
阅读：
书本P71阅读：趣谈“反证法”
数学中
运用反证法
证明命题的步骤：
1、假设结论的反面成立；
2、从假设出发，推出矛盾的结果；
3、说明假设错误，得出结论成立。
想一想：
反证法和举反例的区别
1、假设结论的反面成立；
2、从假设出发，推出矛盾的结果；
3、说明假设错误，得出结论成立。
如果OA=OC，OB≠OD，
那么四边形ABCD不是平行四边形.（书P69讨论）
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如果是，加以证明，如果不是，举出反例。
（书P68练习3）
反例：
满足命题的条件，
但不满足命题的结论。
“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。”是假命题。
举反例的方法用于说明命题是假命题。
例1、如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵在□ABCD中，有：
AB∥CD，AB=CD;
∴∠ABD=CDB.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°,
∠CFD=CFB=90°.
∵在ΔABE和ΔCDF中，
∠ABD=CDB
∠AEB=∠CFD=90°
AB=CD
∴ ΔABE≌ΔCDF(AAS)
∴ AE=CF.
∵ ∠AED=CFB=90°
∴ AE∥CF.
∵AE∥CF， AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
另解：也可以从对角线入手,连接AC
性质+判定2
例2、如图， □ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，AE=CF，连接AF、EC、BE、DF交于点M、N
求证：线段MN、EF互相平分
平行四边形MFNE
AF∥CE ，BE∥DF，
平行四边形AFCE
平行四边形BEDF
AE=CF，AE∥CF
DE∥BF ，DE=BF，
AD=BC,AE=CF
平行四边形ABCD
分析：
例2、如图， 在□ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，AE=CF，连接AF、EC、BE、DF交于点M、N
求证：线段MN、EF互相平分
证明:
平行四边形ABCD中，有
AD∥BC，AD=BC;
又∵AE=CF
∴AD-AE=BC-CF
∴ED=BF
∵AE∥CF，AE=CF;
∴四边形AECF是平行四边形;
∴ AF∥CE
∵DE∥BF，DE=BF;
∴四边形DEBF是平行四边形;
∴BE∥DF
∵AF∥CE，BE∥DF;
∴四边形EMFN是平行四边形。
∴MN、EF互相平分。
性质+判定2+判定1
例3、已知:如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. G、H分别是OB、OD的中点，过点O的直线分别交BC、AD于F、E.
求证：四边形GEHF是平行四边形.
证明：在□ABCD中，有：
AO=CO,BO=DO, AD//BC.
∵在ΔAOE和ΔC0F中，
∠1=∠2
A0=CO
∠3=∠4
∴ ΔAOE≌ΔCOF(ASA)
∴ OE=OF.
性质+判定4
∵EO=OF，GO=OH;
∴四边形GEHF是平行四边形。
2、熟悉用反证法证明了一个命题的步骤和原理；
思考：如果一个四边形中有一组对角不相等，那么这个四边形是平行四边形吗？证明你的结论。
1、综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决了一些问题；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平行四边形
性质
判定
边的关系
对边平行
对边相等
两组对边分别平行的四边形
两组对边分别相等的四边形
一组对边平行且相等的四边形
角的关系
对角相等
对角线的关系
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形
课堂小结：
练习1、已知：如图,点E、F、G、H分别在□ABCD的各边上，AE=CG,BF=DH.求证：EH∥GF.
证明：连接EF、GH.
在□ABCD中，有：
AB=CD,BC=AD,∠A=∠C，∠B=∠D
又∵ AE=CG,BF=DH
∴AB-AE=CD-CG,BC-BF=AD-DH
∴BE=DG,CF=AH
∵在ΔAHE和ΔCFG中，
AH=CF
∠A=∠C
AE=CG
∴ ΔAHE≌ΔCFG(ASA)
∴ EH=GF.
∵在ΔBEF和ΔDGH中，
BE=DG
∠B=∠D
BF=DH
∴ ΔBEF≌ΔDGH(ASA)
∴ EF=GH.
∵EH=GF，EF=GH;
∴四边形EFGH是平行四边形。
∴ EH∥GF.
性质+判定3
练习2、已知：在□ABCD中， ∠BAD与∠BCD的角平分线AE、CF分别交DC、BA的延长线于E、F。
证明：AF=CE．
分析：
□AFCE
AF∥CE CF∥AE
∠1=∠F
∠F=∠2 ∠1=∠2
AE、CF 为∠BAD与∠BCD的角平分线
AB∥CD
谢谢聆听！