苏科版八年级下册 9.4 正方形课件(共21张PPT)

9.4 正 方 形
1.探究正方形的判定和性质.
2.会用正方形的性质和判定解决问题.
学习目标
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板？
2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架？
\
\
∟
探究活动一
平行四边形
矩 形
菱 形
一角为90°
一组邻边相等
？
正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫做正方形。
探究活动一
平行四边形
矩 形
菱 形
一角为90°
一组邻边相等
一组邻边相等，
正方形
一组邻边相等
一角为90°
一个角是直角
探究活动一
于是我们得出如下定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
探究活动一
1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形是正方形.（定义）
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形的判定方法：
探究活动一

例1 已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是∠ABC平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.证明四边形DEBF是正方形.
F
A
B
C
D
E
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°,
∴四边形DEBF是矩形
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形
×
×
∟
∟
∟
〃
〃

判断：
(1)四个角都相等的四边形是正方形； ( )
(2)四条边都相等的四边形是正方形； ( )
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形; ( )
(4)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( )
√
×
×
×
练一练1
菱形
菱形

判断：
(5)对角线相等的菱形是正方形； ( )
(6)对角线互相垂直的矩形是正方形； ( )
√
√
A
A
B
B
C
C
D
D
O
O
矩形特有性质：
四个角是直角；
对角线相等.
菱形特有性质：
四边相等；
对角线互相垂直.
练一练1
平行四边形、
矩形、菱形、正
方形的关系如图：
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形具有矩形的性质，
同时又具有菱形的性质.
对称性：
正方形既是轴对称图形，
又是中心对称图形
探究活动二
性 质
边
角
对角线
图形语言

文字语言

A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等
性 质
边
角
对角线
图形语言

符号语言

A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OC= AC
OB=OD= BD
45°
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角
2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的
周长为 ,对角线长为 ,面积为 .
8cm
C
轻松过关:
C
D
B
O
\
\
\
\
A
∟
45°
3.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= .
A
B
C
D
F
P
E
O
5cm
轻松过关:
∟
∟
∟
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\
\

例1 已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证∠MFD＝45°.
要证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
△CMD≌△ADF
要证MD＝FD，就是要证
分析：
试一试
看能不能完成证明???

证明：
∵正方形ABCD，且CE⊥AF
∴∠ADC＝∠AEM＝90°，CD=AD
又∵∠CMD＝∠AME
∴∠1＝∠2
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC
∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(ASA)
∴DM=DF,又∵∠MDF=90°
∴∠MFD＝∠FMD=45°.


1. 已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,证明四边形EFGH是正方形.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
1
2
3
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴　 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°；
AB=AD=DC=BC
（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF　
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
∴ EH=HG=GF=FE, ∠1＝∠3
∴ 四边形EFGH是菱形
　
\
\
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又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3
∴ ∠1+∠2=90°
∴ ∠EFG=90°
∴ 四边形EFGH是正方形
练一练2
2 如图，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG　
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形.
∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG
∴△AEC≌△ABG　(SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
M
正方形的定义
【归纳总结】
正方形的性质
运用正方形的判定
和性质解决问题
知识点
基本图形:
等腰直角三角形
\
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\
\
∟