北师大版九年级数学上册第四章
4.6利用相似三角形测高
导学案
一、预习目标
1．本节介绍了三种测量旗杆高度的方法，分别是利用阳光下的影子，利用标杆，利用镜子的反射．
2．上述测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的．
3．同一时刻，物高与影长成正比．
二、课堂精讲精练
【例1】如图，小华用长为3.2
m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8
m与旗杆相距22
m，则旗杆的高为(A)
A．12
m
B．10
m
C．8
m
D．7
m
【跟踪训练1】如图，身高为1.7
m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12
m，BE＝3
m，那么这棵树CD的高为5.1m.
【例2】《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意可得：AN＝2米，CN＝2－1.65＝0.35(米)，MN＝40米，AM＝AN＋MN＝42米．MF＝1.65米．
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM.
∴＝.
∴＝.
解得EM＝7.35.
∴EF＝EM＋MF＝7.35＋1.65＝9(米)．
∴城楼的高度为9－1.7＝7.3(米)．
【跟踪训练2】如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上，已知两条边DE＝0.2
m，EF＝0.1
m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝4
m，则树高AB为3.5m.
【例3】 如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2
m，BD＝2.1
m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6
m，试确定楼的高度OE.
解：令OE＝a
m，AO＝b
m，CB＝x
m，
则由△GDC∽△EOC，得＝，
即＝，
整理，得3.2＋1.6b＝2.1a－ax①，
由△FBA∽△EOA，得＝，
即＝，
整理，得1.6b＝2a－ax②，
将②代入①，得3.2＋2a－ax＝2.1a－ax，
∴a＝32，即OE＝32，
答：楼的高度OE为32
m.
【跟踪训练3】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20
m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知丁轩同学的身高是1.5
m，两个路灯的高度都是9
m，则两路灯之间的距离是30m.
三、课堂巩固训练
1．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2
m，测得AB＝1.6
m，BC＝12.4
m，则建筑物CD的高是(B)
A．9.3
m
B．10.5
m
C．12.4
m
D．14
m
2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10
m，＝＝，则容器的内径是(C)
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．20
cm
3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为15米．
4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10
cm，已知AC与BC之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压50cm.
5．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处，窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1
m，窗高CD＝1.5
m，并测得AQ＝1
m，AB＝2
m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
解：∵DQ⊥BP，
∴∠CQB＝90°.
∵QD＝1
m，QA＝1
m，
∴∠QAD＝45°.
∵PH⊥PB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°.
∴PH＝PA，
设PH＝PA＝x
m，
∵PH⊥PB，CQ⊥PB，
∴PH∥CQ，
∴△PBH∽△QBC，
∴＝，即＝.
解得x＝10.
答：窗外的路灯PH的高度是10
m.
四、课堂总结
1．测量旗杆的高度有三种方法：
(1)利用阳光下的影子；
(2)利用标杆(对应“A”字形)；
(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．
它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．
2．对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题．北师大版九年级数学上册第四章
4.4.4黄金分割
导学案
1、预习目标
1．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，而的值叫做黄金比．
2．若点C是线段AB的黄金分割点，则黄金比＝．
2、课堂精讲精练
【例1】(1)已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC.若AB＝4
cm，则BC的长为6－2；
(2)已知线段AB＝10，C为黄金分割点，则AC的长为5－5或15－5．
【跟踪训练1】已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．
【例2】如图，以长为2
cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．
(1)试求AM，DM的长；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
解：(1)在Rt△APD中，AP＝1
cm，AD＝2
cm，
由勾股定理，得PD＝＝
cm.
∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(－1)cm.
∴DM＝AD－AM＝(3－)cm.
(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：
∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2×(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM.
∴点M是线段AD的黄金分割点．
【跟踪训练2】我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB＞BC)的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于(B)
A.
B.
C.
D.
3、课堂巩固训练
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中正确的是(C)
A．AB2＝AC·BC
B．BC2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB
D．AC2＝2AB·BC
2．已知AB＝2
cm，C为AB上的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的值为(A)
A．(－1)cm
B．0.618
cm
C．(3－)cm
D.
cm
3．乐器上一根弦AB长80
cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(80－160)cm.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：
连接EC.
∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.
又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.
∴∠BEC＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.
∴＝，即BC2＝BE·AB，
又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.
∴点E是线段AB的黄金分割点．
4、课堂总结
1．黄金分割定义中的比例式用文字可表述为＝＝，于是＝.
2．已知点C在线段AB上(AC＞BC)，判断点C是AB的黄金分割点的四种方法：
(1)AC∶AB＝BC∶AC；(2)AC2＝AB·BC；(3)＝；(4)＝.
3．如果矩形的长为a，宽为b，且＝，那么这个矩形称为黄金矩形．北师大版九年级数学上册第四章
4.8.1位似图形及其性质与画法
导学案
1、预习目标
1．如果两个多边形不仅是相似多边形，且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心．
2．位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
解：①是位似图形，位似中心是点A；
②是位似图形，位似中心是点P；
③不是位似图形；
④是位似图形，位似中心是点O；
⑤不是位似图形．
【跟踪训练1】如图，画出所给图中的位似中心．
解：如图所示．
【例2】(成都武侯区棕北中学月考
)如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO∶AD的值为(B)
A．2∶3
B．2∶5
C．4∶9
D．4∶13
【跟踪训练2】如图，在△ABC所在平面上任意取一点O(与A，B，C不重合)，连接OA，OB，OC，分别取OA，OB，OC的中点A1，B1，C1，再连接A1B1，A1C1，B1C1得到△A1B1C1，则下列说法不正确的是(D)
A．△ABC与△A1B1C1是位似图形
B．△ABC与△A1B1C1是相似图形
C．△ABC与△A1B1C1的周长比为1∶2
D．△ABC与△A1B1C1的面积比为1∶2
【例3】如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，过点F作FG⊥BC于点G，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．
解：△ABC与△FGC是位似图形，
在矩形ABCD中，AB⊥BC，
∵FG⊥BC，∴FG∥AB.
∴△ABC∽△FGC.
又∵C，F，A三点共线，C，G，B三点共线，
∴△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C.
在矩形ABCD中，CD⊥BC，OB＝OD＝BD，
又∵OE⊥BC，
∴OE∥CD.
∴△BOE∽△BDC，△OEF∽△CDF.
∴＝＝＝.
∴＝.
∴＝＝.
∴△ABC与△FGC的相似比是3.
【跟踪训练3】如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP.
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，则AP的长为6．
解：(1)证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP.
(2)△ADP与△BCP不是位似图形，因为它们的对应点的连线不交于一点．
3、课堂巩固训练
1．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
2．下列判断中，正确的是(B)
A．相似图形一定是位似图形
B．位似图形定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
3．如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(D)
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
4．若两个位似图形的对应线段长分别是3
cm和4.5
cm，且最小那个多边形的周长是45
cm，则最大多边形的周长是67.5_cm．
5．在如图的正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1.(不要求写作法)北师大版九年级数学上册第四章
4.8.2平面直角坐标系中的位似变换
导学案
1、预习目标
在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，其位似中心是原点，它们的相似比是|k|．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，OC＝4，OA＝6.如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是(D)
A．(3，2)
B．(－2，－3)
C．(2，3)或(－2，－3)
D．(3，2)或(－3，－2)
【跟踪训练1】如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为(C)
A．(0，3)
B．(0，2.5)
C．(0，2)
D．(0，1.5)
【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，有两点A(7，3)，B(7，0)，以点(1，0)为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小成A′B′，则A′坐标为(3，1)或(－1，－1)．
【例2】 在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的三个顶点坐标分别是A(－2，2)，B(－3，1)，C(－1，0)，以O为位似中心在网格内y轴右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2，并计算出△A1B1C1的面积．
解：A1B1C1如图所示．
S△A1B1C1＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6.
【跟踪训练3】△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1∶2，且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
解：△A1B1C1如图所示．点A1的坐标为(3，－3)．
3、课堂巩固训练
1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的一半，连接各点所得图形与原图形相比(C)
A．完全没有变化
B．图形扩大为原来的2倍
C．面积缩小为原来的
D．两个图形关于y轴对称
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFC的边长为6，则C点坐标为(A)
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
D．(4，2)
3．如图，△ABC的A，B两个顶点在x轴的上方，点C(－1，0)，以点C为位似中心，并将△ABC的边长放大到原来的2倍，在x轴下方作△ABC的位似图形△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是－．
4．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点A(2，2)，B(4，0)，C(6，4)以坐标原点为中心，将△ABC缩小，相似比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标是(2，)或(－2，－)．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，且顶点都在格点上．
(1)在图上标出位似中心P的位置，并直接写出点P的坐标是(4，5)；
(2)求△ABC与△A′B′C′的面积比．
解：(1)如图所示．
(2)∵＝＝，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.
课堂总结
利用位似图形将图形放大或缩小的步骤：
(1)确定位似中心，在原图上取若干个关键点；(2)以位似中心为端点，向各关键点作射线；(3)根据相似比，在射线上取对应点；(4)依次连接各对应点．北师大版九年级数学上册第四章
4.3相似多边形
导学案
1、预习目标
1．各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．相似比是1的两个相似多边形一定全等．
4．若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比是3，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD上一点，且四边形AEFD∽四边形EBCF.若AD＝4.BC＝9，求：
(1)EF的长；
(2)AE∶EB的值为2∶3．
解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF，
∴＝，即
EF2＝AD·BC.
又∵AD＝4，BC＝9，
∴EF＝6.
【跟踪训练1】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
(1)α＝83°；
(2)求边x，y的长度．
解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝.解得x＝12，y＝.
【例2】如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF.
(1)求证：BF平分∠ABC；
(2)若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，则BC＝3＋3．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC.
【跟踪训练2】如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝．
3、课堂巩固训练
1．下列说法正确的是(C)
A．任意两个等腰三角形都相似
B．任意两个菱形都相似
C．任意两个正五边形都相似
D．对应角相等的两个多边形相似
2．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶1，A′C′＝5
cm，则AC等于(C)
A．5
cm
B.
cm
C．10
cm
D.
cm
3．已知一多边形的边长是2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边是24，则这个多边形的最短边是8．
4．矩形的两边长分别为x和6(x＜6)，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x＝2．
5．某小区有一块矩形菜地长20
m，宽10
m，沿菜地四周向外侧修一条宽度相等的环形小路使小路内、外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，请说明理由．
解：不能做到．理由如下：
设该小路的宽为x
m，根据题意，得
20∶(20＋2x)＝10∶(10＋2x)，
解得x＝0.
∴两矩形不相似．
4、课堂总结
1．相似多边形的定义中有两个条件：①各角对应相等；②各边对应成比例．两者缺一不可，必须同时满足．
2．判定两个多边形(四边及以上)相似的根本方法是利用相似多边形的定义．
3．相似多边形的性质：(1)各角对应相等；(2)各边对应成比例．与其判定相对应．北师大版九年级数学上册第四章
4.7相似三角形的性质
导学案
第1课时 相似三角形的性质定理(一)
1、预习目标
1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．
2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，某同学拿着一把12
cm长的尺子，站在距电线杆30
m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60
cm，则电线杆的高度是(D)
A．2.4
m
B．24
m
C．0.6
m
D．6
m
【跟踪训练1】若△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知BD∶B′D′＝5∶2，AC＝10
cm，则A′C′＝4_cm．
【跟踪训练2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的平分线AM＝8，则△DEF中∠D的平分线DN＝6．
【例2】如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40
cm，AD＝30
cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：＝；
(2)求矩形EFGH的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC，∠AGH＝∠ACB.∴△AHG∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴AM⊥HG.
∴＝.
(2)设HE＝x
cm，则MD＝x
cm，HG＝2x
cm.
∵AD＝30
cm，∴AM＝(30－x)cm.
∵＝，∴＝.
解得x＝12.
∴矩形EFGH的周长为2(x＋2x)＝72
cm.
【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是．
3、课堂巩固训练
1．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的角平分线，则AD∶A′D′等于(A)
A．3∶4
B．4∶3
C．9∶16
D．16∶9
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE，则Rt△BEM与Rt△BCM斜边上的高的比为(C)
A．1∶3
B．2∶3
C．1∶2
D．3∶5
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线交于点P，PF⊥BC于点F，交AD于点E.若AD＝2，BC＝5，EF＝3，则PF＝5．
4．如图，在△ABC中，BC＝12，AD是BC边上的高，AD＝8，P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，PN，MN，PN交AD于点E.若四边形PQMN是矩形，且PQ∶PN＝1∶2，求PQ，PN的长．
解：设PQ＝y，则PN＝2y.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.
∴△APN∽△ABC.
∴＝，即＝.
解得y＝.
∴PQ＝，PN＝.
第2课时 相似三角形的性质定理(二)
1、预习目标
1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC的相似比为(D)
A．5∶9
B．4∶9
C．16∶81
D．2∶3
【跟踪训练1】如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半．若BC＝，则△ABC移动的距离是(D)
A.
B.
C.
D.－
【跟踪训练2】如图，在?ABCD中，E为CD的中点，AE与BD相交于点F.若△DEF的面积为2，则?ABCD的面积为24．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，DE⊥AB于点E，连接AD，BD.
(1)求证：△MED∽△BCA；
(2)当S△BDM＝S△ABC时，求S△BED∶S△MED的值．
解：(1)证明：∵MD∥BC，
∴∠DME＝∠CBA.
∵∠DEM＝∠ACB＝90°，
∴△MED∽△BCA.
(2)∵∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，∴MB＝AB.
∵MC＝MD，∴MD＝AB.
∵△MED∽△BCA，∴＝()2＝.
∵S△BDM＝S△ABC，∴＝.
又∵S△MED＋S△BED＝S△BDM，
∴S△BED∶S△MED＝1∶3.
【跟踪训练3】如图所示，在?ABCD中，点E是CD的延长线上一点，且DE＝CD，BE与AD交于点F.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB.∴＝()2.
∵DE＝CD，AB＝CD，
∴＝，＝.∴＝，＝.
∴S△ABF＝8，S△CEB＝18.
∴S?ABCD＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.
3、课堂巩固训练
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(C)
A．6
B．12
C．18
D．24
2．已知△ABC与△DEF相似且周长的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为(D)
A．2∶3
B．16∶81
C．9∶4
D．4∶9
3．如图，E为?ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则?ABCD的面积为(A)
A．30
B．27
C．14
D．32
4．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝2，求AD的长．
解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，
∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.
∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.
∴＝.∴AD＝2.北师大版九年级数学上册第四章
4.4.3三边成比例的判定方法
导学案
1、预习目标
三边成比例的两个三角形相似．
如图，已知在△ABC和△DEF中，＝＝，则△ABC∽△DEF.
2、课堂精讲精练
【例1】网格图中每个方格都是边长为1的正方形，A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵AC＝，AB＝4，BC＝，EF＝2，DF＝2，DE＝8，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△DEF.
【跟踪训练1】已知△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长分别为1，，要使△A1B1C1∽△ABC，那么△A1B1C1的第三边长为．
【跟踪训练2】如图，图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中找一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是Q或G．(写出满足条件的所有的点)
【例2】如图，已知＝＝，求证：
(1)∠BAD＝∠CAE；
(2)△ABD∽△ACE.
证明：(1)∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)∵∠BAD＝∠CAE，＝，
∴＝.∴△ABD∽△ACE.
【跟踪训练3】如图，已知＝＝.求证：
(1)AB＝AE；
(2)AD2＝DE·CD.
证明：(1)∵＝＝，
∴△ADE∽△CAB.
∴∠AED＝∠B.
∴AB＝AE.
(2)∵△ADE∽△CAB，∴∠DAE＝∠ACB.
又∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA.
∴＝.∴AD2＝DE·CD.
3、课堂巩固训练
1．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(C)
A．①②
B.②③
C．①③
D．②④2．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边是2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
解：①当边长为2的边的对应边的长为4时，
则4∶2＝2∶1，
∴另一个三角形对应的三边的长分别为2，2.5，3；
②当边长为2的边的对应边的长为5时，
则5∶2＝2.5∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为1.6，2，2.4；
③当边长为2的边的对应边的长为6时，
则6∶2＝3∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为，，2.
∴可选木料有三种方案．北师大版九年级数学上册第四章
4.2平行线分线段成比例
导学案
1、预习目标
1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图1，∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，＝.
2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
如图2，∵DE∥BC，∴＝，＝，＝.
【补充】如图3，∵DE∥BC，∴＝.
2、课堂精讲精练
【例1】如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.则下列比例式不正确的是(D)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【跟踪训练1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝2．
【例2】如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，直线l4，l5相交于点O，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求AB的长；
(2)当DE＝3，OE＝1时，求的值．
解：(1)∵l1∥l2∥l3，
∴EF∶DF＝BC∶AC＝5∶8，
∴BC＝15.
∴AB＝AC－BC＝9.
(2)＝.
【跟踪训练2】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．
【例3】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【跟踪训练3】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(C)
A．3∶8
B．3∶5
C．5∶8
D．2∶5
【例4】如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，射线CF交AB于E点，且＝，求的值．
解：取CE的中点G，连接DG.
∵AD是BC边上的中线，
∴DG是△BCE的中位线．
∴DG∥BE，DG＝BE.
∵＝，
∴＝.
∴＝＝.
【跟踪训练4】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE∶EC＝(B)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．2∶3
3、课堂巩固训练
1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF＝2∶5，那么下列结论正确的是(A)
A．AC∶EC＝2∶5
B．AB∶CD＝2∶5
C．CD∶EF＝2∶5
D．AC∶AE＝2∶5
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是(A)
A．6
B．5
C．4
D．2
3．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，DF∥AC，则下列各式中不一定成立的是(D)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
4．如图，AB∥CD∥EF.若AD∶AF＝3∶5，BC＝6，则CE的长为4．
5．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F，AF∶FC为1∶6．
6．如图，直线PQ经过菱形ABCD的顶点C，分别交边AB和AD的延长线于点P和Q，BP＝AB，求证：DQ＝2AB.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，CD∥AB，AB＝DA.
∴＝＝.
又∵AB＝AD，＝，∴＝.
∴DQ＝2AB.
课堂总结
求线段的比，通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然后进行转化得到所求两条线段的比；遇到不能直接转化线段的比时，要借助辅助线(作平行线)构造A字型基本图形．北师大版九年级数学上册第四章
4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法
导学案
1、预习目标
1．相似三角形的性质：(1)三角相等；(2)三边对应成比例．
2．相似三角形的判定方法：(1)定义法；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2、课堂精讲精练
【例1】如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是(B)
A．∠ADC＝∠ACB
B.＝
C．∠ACD＝∠B
D．AC2＝AD·AB
【跟踪训练1】如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是(A)
A.＝
B.＝
C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
【跟踪训练2】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(B)
A.
B.
C.
D.
【例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DF＝2，求CF的长．
解：(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴＝＝.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，∠ADE＝∠ABC.
∴DE∥BC.
∴△DEF∽△CBF.
∴＝，即＝.
∴CF＝6.
【跟踪训练3】如图，点B，D，E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE.求证：
(1)△ABC∽△ADE；
(2)△AEF∽△BCF.
证明：(1)∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE.
又∵＝
，∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E.
又∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF.
【例3】如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1)求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
(2)观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并求解．
解：(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG，△FEG是等腰三角形，
∴FG＝FE＝AB＝，BC＝CE＝EG＝1.
∴BG＝BC＋CE＋EG＝3.
∴＝＝.
又∵∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG.
∴＝＝.
∴BF＝FE＝3.
(2)求证：PC∥RE.
证明：∵△ABC≌△DCE，
∴∠PCB＝∠REB.
∴PC∥RE(答案不唯一)．
【跟踪训练4】如图，已知四边形ABDC，四边形CDFE，四边形EFHG都是正方形．求证：
(1)△ADF∽△HDA；
(2)∠AFB＋∠AHB＝45°.
证明：(1)设正方形ABDC、正方形CDFE、正方形EFHG的边长为a，则AD＝a，DF＝a，DH＝2a.
∴＝＝.
又∵∠ADF＝∠HDA，
∴△ADF∽△HDA.
(2)∵△ADF∽△HDA，∴∠AFB＝∠HAD.
∴∠AFB＋∠AHB＝∠HAD＋∠AHB＝∠ADB＝45°.
3、课堂巩固训练
1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△DOC的是(C)
A.∠BAC＝∠BDC
B．∠ABD＝∠ACD
C.＝
D.＝
第2题图
2．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，那么有(D)
A．△AED∽△BED
B．△BAD∽△BCD
C．△AED∽△ABD
D．△AED∽△CBD
3．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是(C)
A
B
C
D
4．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC，∠BFD＝∠A(答案不唯一)，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
5．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG·ED.求证：DE⊥EF.
证明：∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°.
∵点E是AB的中点，
∴AE＝FE.
∴∠EAF＝∠AFE.
∵AE2＝EG·ED，∴＝.
∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA.
∴∠EAG＝∠ADG.∴∠AFE＝∠ADG.
∵∠AGD＝∠EGF，∴∠DAG＝∠FEG.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.
∴∠DAG＝∠AFB＝90°.∴∠FEG＝90°.
∴DE⊥EF.
课堂总结
1．判定两个三角形相似，具体使用哪种方法，必须结合图形来选择，重视看图、拆图与标注．
2．积累典型图形与结论．北师大版九年级数学上册第四章
4.1成比例线段
导学案
第1课时 线段的比和成比例线段
1、教学目标
1．线段的比：是指选用同一个长度单位量得的两条线段长度的比，叫做两条线段的比．
2．比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．
3．线段比AB∶CD中，AB叫线段比的前项，CD叫线段比的后项．
4．成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
5．比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc；反之，如果ad＝bc(a，b，c，d都不为0)，那么＝.
2、课堂精讲精练
【例1】在1∶40
000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是2.8千米．
【跟踪训练1】 在比例尺为1∶6
000的地图上，图上尺寸为1
cm×2
cm的矩形操场，实际尺寸为60m×120m．
【例2】下列各组中的四条线段成比例的是(C)
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝
B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝
D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【跟踪训练2】已知a，b，c，d成比例线段，其中a＝3
cm，b＝2
cm，c＝6
cm，则d的长度为(A)
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．9
cm
【例3】已知x∶y＝3∶2，则下列各式中正确的是(A)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【跟踪训练3】如果x∶y＝3∶5，那么x∶(x＋y)＝(B)
A.
B.
C.
D.
3、课堂巩固训练
1．在比例尺是1∶4
000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3
cm，它的实际长度用科学记数法表示为(B)
A．12×103
cm
B．1.2×102
m
C．1.2×104m
D．0.12×105
cm
2．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AD为高，则AD∶AB为(D)
A．2∶1
B．1∶1
C．1∶3
D．1∶2
3．下面四组线段中不能成比例线段的是(B)
A．3，6，2，4
B．4，6，5，10
C．1，，，
D．2，，4，2
4．如果＝，那么＝．
5．已知三条线段的长分别为1
cm，2
cm，
cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2_cm或_cm或_cm．
4、课堂总结
1．求线段a与b的比值的准备工作：统一a，b的长度单位或把a，b用同一个字母表示出来．
2．验证两个比例式是否可以相互转化的方法：看它们的等积式是否相同．
3．验证四条线段是否成比例的简便方法：看是否满足“最大×最小＝其余两项之积”．
第2课时 等比性质
1、教学目标
如果＝＝…＝，当b＋d＋…＋n≠0时，＝.比例的这种性质叫做比例的等比性质．
2、课堂精讲精练
【例1】(1)若＝＝(b＋d＋f≠0)，则下列各式中一定成立的是(B)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(2)已知＝＝≠0，则＝．
【跟踪训练1】若＝＝≠0，且a＋b－2c＝3，则a＝6．
【例2】已知＝＝＝3，求：
(1)(b＋d＋f≠0)的值；
(2)(4b＋6d－8f≠0)的值．
解：(1)∵＝＝＝3，
∴＝＝3.
(2)∵＝＝＝3，
∴＝＝＝3×＝.
∴＝.
【跟踪训练2】若＝＝…＝＝(b＋d＋…＋3n－7≠0)，则的值为．
【跟踪训练3】已知a，b，c为△ABC的三边，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，a＋b＋c＝24.
(1)求a，b，c的值；
(2)判断△ABC的形状．
解(1)设a－c＝－2k，a＋b＝7k，c－b＝k，
∴a＝7k－b，c＝k＋b.
∴a－c＝7k－b－k－b＝－2k.
∴b＝4k，a＝3k，c＝5k.
∵a＋b＋c＝24，
∴3k＋4k＋5k＝24，解得k＝2.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
(2)∵a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
3、课堂巩固训练
1．设a，b，c是三个互不相同的正数，如果＝＝，那么(A)
A．3b＝2c
B．3a＝2b
C．2b＝c
D．2a＝b
2．若k＝＝＝(a＋b＋c≠0，k≠0)，则直线y＝kx＋k－2一定经过第一、三象限．
3．若＝＝，且a＋b－c＝1，求a－b＋c的值．
解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋b－c＝1，
∴2k＋3k－4k＝1.
解得k＝1.
∴a＝2，b＝3，c＝4.
∴a－b＋c＝2－3＋4＝3.
4、课堂总结
1．合比性质与等比性质的证明过程中用到了引入参数k的方法，这种方法使用十分广泛．
2．使用等比性质时一定要注意所有后项之和是否为零，如果没有限制条件，那么需要分类讨论．北师大版九年级数学上册第四章
4.5相似三角形判定定理的证明
导学案
一、预习目标
相似三角形的判定：
1．相似三角形的定义．
2．如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
4．如果两个三角形的两条边成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
5．如果一条直线平行于三角形的一边，那么所截得的三角形与原三角形相似．
6．两个直角三角形，如果一条直角边与一条斜边对应成比例，那么这两个三角形相似．
7．如图，用“∽”表示下列基本图形中的相似三角形．
二、课堂精讲精练
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上．
(1)已知：AC＝4，BC＝2，∠CBD＝∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD.
解：(1)∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△CBD∽△CAB.
∴＝，即＝.
∴CD＝1.
∴在Rt△BCD中，BD＝＝.
(2)证明：∵E，F分别AB，BD的中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BD，CE＝AB，EF＝AD.
∴＝＝＝.
∴△CEF∽△BAD.
【跟踪训练1】如图，在?ABCD中，AC＝CD.点E，F分别为边BC，CD上的两点，且∠EAF＝∠CAD，求证：
(1)∠D＝∠ACB；
(2)△ADF∽△ACE；
(3)AE＝EF.
证明：(1)∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD.
∴∠ACB＝∠CAD.
∴∠D＝∠ACB.
(2)∵∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠DAF.
又∵∠D＝∠ACB，∴△ADF∽△ACE.
(3)∵△ADF∽△ACE，
∴AD∶AF＝AC∶AE.
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△EAF∽△CAD.
∴∠EFA＝∠D.
∴∠EAF＝∠EFA.∴EA＝EF.
【例2】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)表示运动的时间．
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？
解：(1)当CE＝CF时，△CEF是等腰直角三角形，
∴4t＝12－2t，解得t＝2.
(2)①当△ECF∽△ADC时，则＝，
即＝，解得t＝3.
②当△FCE∽△ADC时，则＝，
即＝，解得t＝.
综上所述，当t的值为或3时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
【跟踪训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8
cm，BC＝6
cm.点P从点A出发，沿AB边以2
cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1
cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t
s.
(1)当PQ∥AC时，求t的值；
(2)当t为何值时，△PBQ的面积等于
cm2.
解：(1)由题意，得BQ＝t
cm，AP＝2t
cm.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8
cm，BC＝6
cm，
AB＝＝＝10(cm)．
∴BP＝(10－2t)cm.
∵PQ∥AC，
∴＝，即＝.
解得
t＝.
(2)过点Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝∠C＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△BQE∽△BAC.
∴＝，即＝.解得
QE＝t.
∴S△PBQ
＝BP·QE＝.
即·(10－2t)·t＝.
解得t1＝2，t2＝3.
∵0＜t＜5，
∴当t的值为2或3时，△PBQ的面积等于
cm
2.
三、课堂巩固训练
1．如图，P为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是(A)
A．△CGE∽△CBP
B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP
D．△PCF∽△BCP
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为(B)
A．100°
B．120°
C．115°
D．135°
3．如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠CBD，AB＝15，AD＝20，BD＝18，BC＝24，则CD的长为．
4．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连接AE交CD于点F，如果∠EAC＝∠D，试问：AC·BE与AE·CD是否相等？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AB＝CD.
∵∠EAC＝∠D，
∴∠EAC＝∠B.
∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△BAE.
∴AC∶AB＝AE∶BE.即AC·BE＝AE·AB.
∵AB＝CD，
∴AC·BE＝AE·CD.
四、课堂总结
1．判断两个三角形是否相似，首先看角的相等，哪个角与哪个角对应；再看边是否成比例，通常两个三角形相似，小边与小边比，大边与大边比，剩余两边相比，若比值相等，就相似，若比值不等，就不相似．
2．证明等积式时，一般情况下将其转化为比例式，看比例式中的四条线段能否构成相似三角形的对应边，若直接找不到相似三角形时，可通过“中间比”过渡．
3．找中间比一般要由图形和已知条件来确定，常从以下两方面入手找中间比：①把相等线段与同一线段的比当作中间比；②把相等线段和相等线段的比当作中间比．北师大版九年级数学上册第四章
4.4.1两角分别相等的判定方法
导学案
1、预习目标
1．三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽DEF，我们把对应边的比叫做相似比，若△ABC与△DEF的相似比是k，则△DEF与△ABC的相似比是1∶k．
2．若△A1B1C1∽△A2B2C2，△A2B2C2∽△A3B3C3，则△A1B1C1∽△A3B3C3.
3．两角分别相等的两个三角形相似．
4．如图1、2，当DE∥BC时，则有△ADE与△ABC相似．
5．如图3，当∠1＝∠B时，△ABC∽△ACD.
2、课堂精讲精练
【例1】如图，在?ABCD中，M为对角线AC上一点，BM交AD于点N，交CD延长线于点E.试问图中有多少对不同的相似三角形(相似比不为1)？请尽可能多地写出来．
解：图中有5对不同的相似三角形：△BMC∽△NMA，△ABM∽△CEM，△ANB∽△DNE，△DNE∽△CBE，△ANB∽△CBE.
【跟踪训练1】如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上(不与C，D两点重合)，斜边的一部分与线段AB重合．
(1)图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形，写出证明过程．
解：答案不唯一，如：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠C＝90°.
∴∠ABP＝∠BPC.
又∵∠BPE＝∠C＝90°，
∴Rt△∽Rt△EPB.
【例2】如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°.
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB.
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠CAG，
∴△EAF∽△CAG.
∴＝.
∴＝.
【跟踪训练2】如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5
cm，AB＝4
cm，那么AD的长为．
【跟踪训练3】如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B.
(1)若AB＝10，求FD的长；
(2)若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE.
解：(1)∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5.
∴∠CDE＝∠A，∠DEC＝∠B.
∵∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F.∴DF＝DE＝5.
(2)证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
∵∠CDE＝∠A，
∴∠CDE＝∠B.
∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F.
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE.
3、课堂巩固训练
1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(D)
A．都含有一个50°的内角
B．都含有一个70°的内角
C．都含有一个80°的内角
D．都含有一个100°的内角
2．如图，在△ABC中，点E和点F分别在边AB，AC上，且EF∥BC.若AE＝3，EB＝6，BC＝9，则EF的长为(D)
A．1
B.
C.
D．3
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC的长为(C)
A．2
B.
C.
D．5
4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B)
A．2
B．4
C．6
D．8
5．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似的三角形有4对．
6．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.
∵△ADF∽△DEC，
∴＝.∴DE＝＝＝12.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AE＝＝＝6.
课堂总结
1．与学习判定三角形全等的公理类似，这里学习判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”也是通过操作体验，未经严格理论证明．
2．注意对应：大边对大边，小边对小边，大角对大角，小角对小角．
3．平行于三角形一边的直线截三角形其他的两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似，简称“平行线截得的三角形相似”，其对应的基本图形称作“A”或“X”形相似形．
4．两个相似三角形对应关系不明确时，应分类讨论．
