椭圆的概念与几何性质 Word

椭圆的概念与几何性质
一、知识梳理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3、点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?＋>1.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
答案　＋＝1
3.已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，
∴P点坐标为(，1)或(，－1).
答案　(，1)或(，－1)
4.(2018·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±3，0)
B.(0，±3)
C.(±9，0)
D.(0，±9)
解析　根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案　B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
答案　C
6.(2018·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
解析　曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.
答案　D
考点一　椭圆的定义及其应用
【例1】
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
(2)(2018·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A.24
B.12
C.8
D.6
解析　(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8.
答案　(1)A　(2)C
规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【训练1】
(1)(2018·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A.2
B.6
C.4
D.2
(2)(2018·衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
解析　(1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案　(1)C　(2)－5
考点二　椭圆的标准方程
【例2】
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析　(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1
(m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴　解得综上可知，所求椭圆的标准方程为
＋y2＝1.
答案　(1)D　(2)＋y2＝1
规律方法　根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
【训练2】
(1)(2018·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
(2)(2018·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析　(1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝×2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得＋＝1，由此求得y＝，所以|AB|＝3＝，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案　(1)B　(2)C
考点三　椭圆的几何性质
角度1　椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】
(2018·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)
A.8
B.7
C.6
D.5
解析　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6答案　A
角度2　椭圆的离心率
【例3－2】
(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案　D
角度3　与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】
(2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
解析　①当焦点在x轴上，依题意得
0∴0②当焦点在y轴上，依题意m>3，且≥tan＝，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案　A
规律方法　1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
【训练3】
(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A.1
B.
C.2
D.2
(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号).即长轴长2a的最小值为2.
(2)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，
所以e＝＝≤，所以e的最大值为.
答案　(1)D　(2)A
[思维升华]
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
三、课后练习
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b).∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍).∴椭圆的离心率为.
答案　D
2.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(，1)
B.(，)
C.
D.
解析　由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos
∠PF1F2
＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos
∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，
所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，
∴－∠PF1F2<，所以2c答案　B
3.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，
得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
答案　5
4.(2019·石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
解　(1)由已知得解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝，
由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0得m2<16，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2，满足m2<16.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.
解析　设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1，0)关于直线y＝bx对称得
解得代入椭圆C的方程得＋＝1，结合a2＝b2＋1解得则椭圆的离心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝.
答案