《商不变的性质》教学设计
教学背景分析
（一）教材分析
“商不变的性质”是在学生已经学习并掌握了“积的变化规律”的基础上进行教学的，同学们在探究“积的变化规律”的过程中初步体会了“变与不变”的数学思想。本节课在于让学生发现除法运算中“商不变的性质”这一重要规律，并为今后学习小数除法、分数除法、分数基本性质等内容奠定理论基础。
（二）学情分析
在课前对学生的调研中发现，少部分学生在计算的过程中已经能发现一些计算性质，有的已经能发现并尝试运用了“商不变的性质”。但是，学生在运用此性质计算的过程中总是出现错误，对于“商不变的性质”的内容及其探索过程都还没有一个明确的认识。
（三）我的思考
基于上述分析，可以认为本节课不仅要使同学们理解商不变的性质，更要教会同学们商不变的性质的探索过程。在教学过程中注意以学生原有的知识经验为基础，引导学生运用“积的变化规律”中“变与不变”的数学思想猜想出“商不变的性质”的内容。教师要在接下来的教学过程中鼓励同学们进行大胆验证、归纳概括，最后总结反思，从而体会数学规律探索的过程。
教学目标与重难点
1
经历商不变的性质的探索过程，能用数学的语言进行描述，理解并应用商不变的性质进行简算。
2
在自主建构新知的过程中，形成新旧知识间的联系，获得探索规律的方法与经验，渗透“变与不变”的数学思想。
3
通过自主探索、合作交流，感受探索与运用数学规律的趣味性，体会数学学科的独特魅力。
重点：商不变性质的理解。
难点：商不变性质的探索及运用。
教学过程
回忆旧知，引发思考
1复习导入
师：同学们，我们学习了乘法并且探索了“积的变化规律”，请你根据6×4=24，计算6×40=?，并说说你是怎么想的？（教师板书：6×4=24，6×40=）
生：因为6×4=24，那么6×40。因数6没有变，另一个因数由4变为40是因为乘10，所以积也应该乘10。所以6乘40等于240.
师：那6×20=？，也说说你是怎么想的？(板书：6×20=)
生1：因为6×40=240，那么6×20。一个因数没变，另一个因数除以2，所以积也应该除以2，240除以2等于120。所以6乘20应该等于120.
师：还有同学有不同的想法吗？
生2：我是通过比较第一个式子和第三个式子得出的。因为6×4=24，那么6×20。一个因数没变，另一个因数乘5，那么积也应该乘5。24乘5等于120，所以6乘20等于120.
2规律回顾
师：同学们运用积的变化规律回答得非常正确。那么同学们能不能说出积的变化规律是什么呢？（教师板书：积的变化规律）
生1：在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也随着乘（或除以）相同的数。
师：下面再请一位同学说一下。
生2：……
（教师板书：积的变化规律内容）
师：在积的变化规律中，因数、因数与积这三个数究竟是哪些不变，哪些变化呢？
生：在这三个数中，其中的一个因数不变，另一个因数和积发生变化。
生：……
（教师板书：不变、变、变）
【设计意图】建构主义学习观认为，一切新的学习都是建立在以前学习的基础上，或在某种程度上利用以前的学习。本环节让学生回忆“积的变化规律”的过程，不但可以了解学生的知识基础，还可以唤起学生学习探索规律的方法，为接下来“商不变的性质”的学习奠定基础。
驱动建构，形成新知
1提出问题
师：这一节课，我们大家一起来探究“商不变的性质”（板书：商不变的性质）。关于商不变的性质，你想知道什么呢？
生1：商不变的性质是什么？
生2：商不变的性质有什么用处呢？
生3：……
（教师板书：内容、作用）
【设计意图】发现并提出问题往往比解决问题更重要，引导学生提出有价值的问题。教师要培养学生的问题意识，引导学生带着问题去探究、去发现，在探索规律的过程中会更有针对性。
2引发猜想
师：在刚刚回忆的积的变化规律中，一个因数不变，另一个因数和积变化。那么在商不变的性质中，请同学们猜想谁变谁不变呢？
生：商不变，被除数和除数变。
师：那根据同学们猜想的变与不变，请同学们进一步猜想商不变的性质是什么呢？先自己独立猜想，然后把你们的猜想在小组里说一说。（小组讨论交流，教师在组间解疑释难。）
生：我代表我们小组汇报。我们猜想的“商不变的性质”是被除数和除数同时变大（或变小），商不变。
师：同学们觉得猜想合理吗？有哪位同学说说你的观点？
生：我觉得猜想不合理。比如4÷2=2，如果按照刚才的猜想，4变成20是变大了，2变成5也是变大了。而20÷5=4，他们的商变了。因此我觉得被除数和除数应该变大（或变小）相同的数才行。
师：刚刚的猜想确实不太合理，你们小组的猜想是什么呢？
生：我们小组是根据刚刚复习的“积的变化规律”内容进行猜想的，猜想的“商不变的性质”的内容是被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数（0除外），商不变。
师：对于他们小组的猜想，同学们你们赞同吗？
生：赞同。
【设计意图】“猜想-验证”是数学学习过程中的重要方法，要让学生懂得猜想要有依据，不能毫无根据地猜想。教师要善于引导学生利用以前的知识经验、学习经验和生活经验来进行新知的学习，感受数学的科学性与严谨性。
3验证推理
（1）利用24÷4=6，进行验证
师：以上“商不变的性质”内容是经过同学们的猜想而得到的，那猜想的内容究竟成立不成立呢，我们还必须经过验证的过程。请同学们在课前下发的学习单上（图1），利用24÷4=6，进行验证。（学生验证，教师巡视，发现问题及时处理。）
图1
师：哪位同学想把自己的验证过程与大家分享？
生1：我们将被除数和除数同时乘10，算式变成了240÷40，结果等于6，商不变。
生2：我们将被除数和除数同时乘2，算式变成了48÷8，结果仍等于6，商不变。
生3：我们将被除数和除数同时除以2，算式变成了12÷2，结果仍等于6，商不变。
……
（2）自己写算式进行验证
师：24÷4=6能够验证大家所猜想的“商不变的性质”是成立的，接下来请同学们在任务学习单（图2）上自己写出一个除法算式，对所猜想的“商不变的性质”进行验证。（学生验证，教师巡视，发现问题及时处理。）
图2
师：下面请同学们说一说你写的是哪个算式？怎样进行验证的？结论又是什么？（选择3-4人随机汇报）
生：我写的算式是20÷10=2，我把被除数20和除数10同时乘2，变成了40÷20，最后结果商还是等于2。我又把被除数20和除数10同时除以5，变成了4÷2，商还是等于2。我得到的结论是在除法算式中，被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数，商不变。
……
小组内相互交流不一样的算式，体会“商不变的性质”的普遍性。（教师板书商不变的性质内容，先不板书“0除外”三个字）
【设计意图】虽然规律已经初现，但是否具有普遍性，还需要放手让学生举出大量的例子进行说明和验证。这个环节让同学们体会在规律探索中合情推理的特点——由特殊到一般。
（3）“0除外”的处理
师：（继续追问）被除数、除数同时乘或者除以的这个数是几都行吗？
生：0不能作除数，所以不能除以0.
生：我认为乘0也不行，因为要是乘0的话，除数就得0啦，除数不能是0.（教师板书：0除外）
4归纳概括
师：同学们，那么“商不变的性质”的正确表述应该是……
生：被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数（0除外），商不变。
师：大家经过“猜想-验证”，最后终于探索出了商不变的性质，请同学们打开数学书，看看书上是怎么表述的。
师：你们研究的结论和专家研究的结论是一致的，同学们太了不起啦！同学们接着思考，你认为在商不变的性质的表述中哪些是关键词呢？请同学们在自己的书上标示出来。
学生：同时、相同、0除外。
（教师板书，用红色粉笔将“同时”、“相同”、“0除外”圈画。）
此环节，教师要适时处理“（240÷2）÷（40÷2）=6”等写法（图3），使学生了解商不变性质的多种表示形式，从而进一步体会商不变的性质。
图3
【设计意图】“猜想-验证-归纳、概括”是数学学习的重要过程，对于学生猜想、验证后的规律和结论，要让学生进行及时地归纳和概括，并提炼其中的关键信息，从而培养学生有序思考的习惯，进一步感受数学的科学与严谨。
5回顾研究过程
师：现在回过头来思考，我们是怎样一步步地得出商不变的性质的？
生：我们首先回忆复习“积的变化规律”，然后由“积的变化规律”猜想“商不变的性质”。接着运用大量的算式验证商不变的性质，最后归纳概括出商不变的性质。
【设计意图】不但“猜想-验证-归纳概括”是数学学习的重要过程，反思也是学生重要的学习过程。加强反思、培养反思习惯对学生的学习与成长都有着重要的意义。
6巩固练习，自主运用
师：同学们通过做任务学习单的第四题（图4），知道“商不变的性质”可以用来简算。（教师板书：简算）
图4
【设计意图】应用商不变的性质，能够把复杂的问题变简单，进一步体会商不变性质的作用，渗透“化繁为简”的数学思想。
（三）对比建构，实现关联
师：请同学们看黑板，对比“商不变的性质”和“积的变化规律”，你有什么想法呢？
生：我发现“商不变的性质”和“积的变化规律”之间是有联系的，它们都是两个变一个不变。
生：除法算式中的商乘以除数等于被除数，乘法算式中因数乘因数等于积，因此“商不变的性质”中的被除数与“积的变化规律”中的积具有关联性，一个因数不变和商不变也具有关联性。
【设计意图】在学生自主探索“商不变的性质”的基础上，进一步引导学生探究发现“商不变的性质”和“积的变化规律”之间的联系，认识乘除法之间的关联性，头脑中建立起数学网状的知识体系。
（四）课堂小结，关注发展
（过程略）
板书设计
商不变的性质
积的变化规律
联系
不变
变
变
变
变
不变
24
÷
4
=
6
6
×
4
=24
240
÷
40
=
6
6
×
40
=240
120
÷
20
=
6
6
×
20
=120
内容：被除数和除数同时乘
在乘法里，一个因数不变，
或除以一个相同的数
另一个因数乘（或除以）几
（0除外），商不变。
（0除外），积也随着乘（或
除以)相同的数。
作用：
简算
教学反思
本节课，教师在充分理解教材的基础上，巧为设计，以联系为魂，以建构为主线，突出了新旧知识之间的“联系”与“建构”，这样既关注了学生新知识的习得，又有助于学生探究能力的提高。
联系是魂，交错成网。数学是一门逻辑性很强、前后知识联系很紧密的学科，然而对于学生而言，他们可能不能很快地、很精准地感受到这种联系。教师需要为学生在这些有着内在联系却又零散的知识之间架构起桥梁，使学生思维能够顺利地衔接起来，从而形成新旧知识之间的联系。在本节课中，乘除法之间本身存在一定的关联性，引导学生实现了新知识“商不变的性质”与旧知识“积的变化规律”之间的关联，这对于学生新知识的学习无疑具有很大的推动作用。
建构为线，环环相扣。在本节课的教学过程中，学生经历了“回忆-猜想-验证-归纳概括-对比”的学习过程，这些也往往是学生利用旧知，建构新知的重要步骤，有助于培养学生在以后的学习过程中发现规律、探索规律、归纳概括规律的探究意识。北京市义务教育课程改革实验教材第7册
《商不变的性质》教学设计
教学目标：
1、探索商不变的性质，尝试用数学语言进行描述，并能够简单应用。
2、学生在参与交流、观察、比较、猜想、概括、验证等学习活动过程中，体验成功，渗透“变与不变”的数学思想
3、感受探索和运用商不变的性质的乐趣及数学学习的乐趣。
教学重点：商不变的性质的理解。
教学难点：商不变性质的运用
教学流程图：
激趣设疑，提出问题
举例分析，理解性质
巩固练习，拓展应用
归纳总结，完善认知
教学过程：
课前三分钟：《孙悟空分桃子》。交流听后感受，生生评价，师生评价，为学习新知做铺垫。
一、激趣设疑，提出问题
刘子彤精彩的课前三分钟深深地吸引了同学们，也吸引了老师，我们一起来回忆一下孙悟空是怎样分桃子的，他把6个桃子平均分给3只小猴，每只小猴分到2个桃子,列式是(
)60个桃子平均分给30只小猴,每只小猴分到2个桃子,列式是(
)。600个桃子平均分给300只小猴，每只小猴分到几个桃子，怎么列式？6÷3=2
60÷30=2600÷300=2。[俗话说，良好的开端等于成功的一半。课始，利用多媒体课件，形象、直观地展示故事情景，快速吸引学生注意立刻置学生于情景中、问题里，体现教师的组织作用，尤其在“算式设疑”中，引发学生在认知上的冲突，使学生欲罢不能，在学习行为中遇到障碍，从而提出数学问题，明确学习目标，起到目标定向的作用。]
二、举例分析，理解性质
（一）初探性质
师：我们一起来观察这几个算式。你们发现了什么？
6÷3=2
60÷30=2
600÷300=2。
生：这几个算式的商都是2（评价他关注了结果）
生：我发现被除数和除数都都乘或者除以一个相同的数（0除外）商不变。
师：你能以黑板上这组算式为例说一说吗？
生：被除数6和除数3都乘10商没有变
被除数6和除数3都乘100商没有变
师：如果孙悟空继续分桃会怎么分呢？
被除数6和除数3都乘1000商没有变
其他人还有别的想法吗？
我以600÷300=2为例
被除数600和除数300都除以10商没有变
被除数600和除数300都除以100商没有变
正向刚才同学们所说：被除数和除数都都乘或者除以一个相同的数（0除外）商不变。
师;刚才我们以6÷3=2
为标准找到了被除数和除数同时乘一个数（0除外）商不变的规律，又以600÷300=2为标准找到了被除数和除数同时除以一个数（0除外）商不变的规律，下面你们以小组为单位，用一组数据来给大家讲一讲商不变的规律。温馨提示：先写出一个标准算式，再看看被除数和除数是怎样变化的。
（二）小组合作，探索性质，交流汇报
1、自主探索、发现性质
小组内自己写算式，边写变分析
2、分享交流、总结规律
学生写自己组的式子然后到前面来交流
生：我们组写的算式是（
）
被除数和除数都乘（
）商没变，
被除数和除数都乘（
）商没变，
被除数和除数都乘（
）商没变，
我们组通过这个例子可以说明被除数和除数同时乘一个相同的数0除外商不变，大家还有什么想和我们交流的吗？学生交流互动，讲解的小组负责解答，下面的同学也可以互相补充。
[教师着力指导学生用观察、分析、比较、概括等学习方法，采用小组合作、同伴讲解交流的学习的方式，独立的自主探索、合作交流，从而理解商不变的规律，学生观察到被除数和除数变化而商不变的情形，思维经历了感知——表象——抽象--概括的过程，符合学生认知的特点。]
3、师：我们一起边理解边读一读商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。你们觉得理解商不变的性质，哪些词语最重要？生说（同时、相同、0除外）你们怎么理解这三个词？[通过强化“同时”“相同”“0除外”完善概念，体现了数学概念的逻辑性、严密性，培养学生严谨的良好的学风和习惯。]
三、巩固练习，拓展应用
师小结：你们真是太了不起了，用自己喜欢的方式给同学们讲清楚了被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（0除外）商不变。接下来我们一起来挑战一下自己，打开你的题纸，你可以有选择的来进行练习，生自主练习。交流汇报。
（一）、细观察：
根据“300÷60=5”，分别在
里填上运算符号，在
里填上适当的数。
1、（300÷5）÷（60
）=5
2、（300
）÷（60x2）=5
3、300÷60=(300
)÷（60
）=5
[开放主题，拓展思维空间，使学生抓住规律本质特征，从不同角度、不同类型、不同形式来分析问题，解决问题，发展学生创新思维。]
（二）、找朋友
找出与“320
÷40”的商相同的算式。
1、（320
×20）
÷
（40
×
20）
2、（320
÷40
）
÷
（40
÷40
）
3、（320
÷
8）
÷
（40
×
8）
4、（320
×
5）
÷
（40
×
2）
[学生能根据商不变的规律准确找到和320
÷40商相同的算式，并能够说出不正确的原因，知其然还要知其所以然，培养学生分析问题的灵活性，懂得看问题要透过现象看本质。]
（三）智慧林
1）
4800……0
÷600……0=
100个0
100个0
[学生应用商不变的性质，把复杂的问题变简单，进一步感受到学习新知识的价值。]
2）
怎样计算简便
400÷25
[用所学的规律进行简便计算，让学生体会学有所用，学以致用，在计算时寻找最佳的学习方法，提高计算速度和准确率。]
四、总结归纳，完善认知
今天有什么收获？这些收获主要通过什么方法获得的？
谁帮助了你？你该感谢谁？还有不明白的问题吗？
[注重学法、情感等方面的总结，并进行全课质疑，进一步系统、完善认知。]
五、布置作业，巩固深化。
作业：
1、数学书72页1、3、4题
2、
利用今天所学的商不变的性质给你的小伙伴出几道题考考他。
[1、目标的全面性，并分解落实在各个教学环节之中。2、结构的清晰性，体现环节的连贯、自然、整体。3、教学法的优化性，体现主导与主体间的关系。4、开放性：学习形式、问题、习题等方面开放，拓展学生思维时空，创新意识得到充分强化。5、过程性，完全放手让学生自主举例，生生对话，解决问题，明确性质]学科
数学
备课教师
备课时间
教学内容
商不变的规律
教学课时
一课时
教学目标
知识目标：经历自主探索、合作交流的过程，发现商不变的规律。
技能目标：能运用商不变得规律，进行除法的简便计算。
情感态度价值观：学生在参与观察、比较、猜想、概括、验证等学习活动过程中，体验成功，同时培养学生爱数学的感情。
教学重点
使学生理解并归纳出商不变的规律。
教学难点
使学生会初步运用商不变的规律进行一些简便计算。
教学方法
引导
合作
交流
教学准备
课件
教学过程
一、创设情境，激发兴趣。
师：今天老师给你们讲一个故事。（课件演示故事内容）
师：孩子们听了这个故事有什么感受？
师：为什么灰太狼笑了，喜洋洋也笑了？
生1：
生2：
师：是这样的吗？你是怎么知道的呢？
生：8÷2=4???
80÷20=4???
800÷200=4????
8000÷2000=4
师：哦，原来是这样，你真聪明！为什么每只猴子每次分到的桃子都一样呢？这节课我们就一起来研究这个问题。
二、探索规律，概括性质。
（一）??
观察算式，发现规律。
1、??????
课件出示：?
????????
8÷2=4?
??????
80÷20=4??
?????
800÷200=4????
8000÷2000=4?
2、观察讨论：
??
A、从上往下看，被除数和除数有什么变化？商有什么变化？
?
（学生观察讨论后，代表汇报结论，师板书：被除数和除数都乘一个数，商不变。）
??
B、从下往上看，被除数和除数有什么变化？商有什么变化？
?（学生观察思考，个别汇报结论，师板书：被除数和除数都除以一个数，商不变。）
3、观察例子说明你的发现，这个规律是否具有普遍性？
（学生动手写一组例子来验证这个发现）
4、笑笑举了一个例子，大家有什么疑问吗？这个规律在这同样适用吗？
80÷20＝4
（80×0）÷（20×0）＝
（
生小组讨论，再代表汇报，举例说明）
师：真棒，能把你的发现用一句话说给大家听听吗？
?
（学生尝试归纳发现的规律，师板书规律）
加深理解：你认为在商不变的规律中，哪几个词最重要？
5、教师小结，揭示课题。（板书课题）
6、用简便的竖式写法进行除法计算
“一些除法算式应用商不变规律计算比较简便。”
（1）课件展示：350÷50
简便的竖式写法
学生观察：“你们能说说这是怎么回事吗？
（2）课件展示：400÷25的计算过程。
三、运用规律，解决问题
判断对错
350÷50=（350÷10）÷（50÷10）
（
）
75÷25=（75×4）÷（25×4）
（
）
360÷90=（360+10）÷（90+10）
（
）
91÷13=（91×2）÷（13×3）
（
）
48÷12=
（48÷6）÷（12×6）
（
）
四、自主评价，促进反思。
今天你有什么收获？你认为今天学的知识可以应用到哪些生活实例当中？
补充修改
根据教学情况对教案进行补充和修改
板书设计
商不变的规律
被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），
商不变。
教学反思
从学生感兴趣的故事引入新课，激发学生探究新知的欲望。本节课通过“发现规律---总结规律---运用规律”的教学过程，学生通过自主探究、合作学习掌握了商不变的规律，能正确解决生活中的实际问题。
备课参考资料
教学参考
教材解读
七彩课堂
