2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第1章 1.1　集　合 （Word）

§1.1　集　合
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A?B；
(2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B；
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B；
(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x?A}
?UA
概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示　2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示　A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　×　)
(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A?(M∩N)．(　√　)
题组二　教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)
A．{a}?A
B．a?A
C．{a}∈A
D．a?A
答案　D
3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．
答案　4
解析　因为(A∪B)?B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝________.
答案　(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析　因为?UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
题组三　易错自纠
5．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________.
答案　0或3
解析　因为B?A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
答案　0或1或－1
解析　易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M，
∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
集合的含义与表示
1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1
B．3
C．6
D．9
答案　C
解析　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；
当x＝2时，y＝0,1,2.
故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．
2．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
答案　C
解析　因为∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.
3．给出下列四个命题：
①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}；
②{x|x＝3k＋1，k∈－2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2
021∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案　②③④
解析　①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)
．④中x＝－2
021或x＝－，满足条件的所有x组成的集合为{－2
021，－}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
集合间的基本关系
例1　(1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　　)
A．M∩N＝?
B．M＝N
C．M?N
D．N?M
答案　D
解析　由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N?M，故选D.
(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0答案　4
解析　由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
又∵A?C?B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．
(3)已知集合A＝{x|x2－2
021x＋2
020<0}，B＝{x|x答案　[2
020，＋∞)
解析　由x2－2
021x＋2
020<0，解得1020，
故A＝{x|1020}．
又B＝{x|x020.
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)
A．A?B
B．B?A
C．A?B
D．B＝A
答案　B
解析　由题意知A＝{x|y＝}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以B?A，故选B.
(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________．
答案　(－∞，－2)∪
解析　A＝{x|－1≤x≤6}．
∵B?A，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意．
当B≠?时，
解得0≤m≤.
得m<－2或0≤m≤.
集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例2　(1)(2019·日照模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于(　　)
A．(1,3)
B．(1,3]
C．[－1,2)
D．(－1,2)
答案　C
解析　因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2)．
(2)(2019·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为(　　)
A．{3}
B．{7}
C．{3,7}
D．{1,3,5}
答案　B
解析　由图可知，阴影区域为?U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，
?U(A∪B)＝{7}．故选B.
命题点2　利用集合的运算求参数
例3　(1)(2019·银川模拟)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案　B
解析　因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0(2)已知集合A＝{x|xA．a<1
B．a≤1
C．a>2
D．a≥2
答案　D
解析　集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1由A∩B＝B可得B?A，作出数轴如图．
可知a≥2.
本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1由B?A结合数轴观察(如图)．
可得a≤1.
思维升华　(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练2　(1)(2019·烟台模拟)设全集为R，集合M＝{x|x>1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，
则(?RM)∩N等于(　　)
A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1,2}
D．{2,3,4}
答案　B
解析　N＝{0,1,2,3,4}，?RM＝{x|x≤1}，
∴(?RM)∩N＝{0,1}．
(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
答案　D
解析　在数轴上画出集合A，B(如图)，
观察可知a>－1.
以集合为背景的信息迁移是近几年高考的热点题型，解决这类问题首先要理解题意，准确把握问题本质，回归到数学问题，其次要用好集合的性质，解决信息迁移后的集合问题．
例1　对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．
答案　{1,6,10,12}
解析　要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}．
例2　(2019·湖北武汉部分重点中学联考)对于a，b∈N，规定a
b＝集合M＝{(a，b)|a
b＝36，a，b∈N
}，则M中元素的个数为(　　)
A．40
B．41
C．50
D．51
答案　B
解析　由题意知a
b＝36，a，b∈N
.若a和b的奇偶性相同，则a＋b＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a，b)有35个；若a和b的奇偶性不同，则a×b＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点(a，b)有6个．所以M中元素的个数为41.故选B.
例3　已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“
”：A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A
B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15
B．16
C．20
D．21
答案　D
解析　由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A
B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A
B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A
B中的所有元素数字之和为21.
1．下列各组集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案　B
2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)
A．－3∈A
B．3?B
C．A∩B＝B
D．A∪B＝B
答案　C
解析　由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.
3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9
B．8
C．5
D．4
答案　A
解析　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，
(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．
故选A.
4．已知集合A＝{x∈N
|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有(　　)
A．7个
B．8个
C．15个
D．16个
答案　A
解析　∵集合A＝{x∈N
|x2－3x－4<0}＝{x∈N
|－1∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．
5．设集合M＝{－1,1}，N＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．N?M
B．M?N
C．N∩M＝?
D．M∪N＝R
答案　B
解析　由题意得，
集合N＝＝，
所以M?N.故选B.
6．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则?AB等于(　　)
A．{－3，－2，－1}
B．{－1,2,3}
C．{－1,0,1,2,3}
D．{0,1}
答案　B
解析　由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则?AB＝{－1,2,3}．故选B.
7．已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2A．{3,5}
B．{2,3,5}
C．{2,3,4,5}
D．{3,4,5}
答案　A
解析　由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(?UA)∩B＝{3,5}．故选A.
8．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．3
B．4
C．7
D．8
答案　D
解析　∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0,1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}．
∴A∩B＝{0,1,2}，∴A∩B的子集个数为23＝8.
9．(2017·全国Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.
答案　{1,3}
解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
10．(2019·湖北黄石一中模拟)设集合M＝{y|y＝2cos
x，x∈[0,5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝________.
答案　{x|1解析　∵M＝{y|y＝2cos
x，x∈[0,5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，
∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|111．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．
答案　－2或1
解析　∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，
∴或解得a＝－2或a＝1.
经检验，a＝－2和a＝1均满足题意．
12．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，则实数c的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A?B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.
答案　－1　1
解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，2]
解析　当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故115．已知A＝，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}(a>0)，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是______．
答案　[5，＋∞)
解析　由>0可得(x－2)(x－6)<0，
∴2x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－(1－a)][x－(1＋a)]≤0.
又a>0，∴B＝[1－a,1＋a]．
由A∪B＝B，得A?B，
∴∴a≥5.
∴实数a的取值范围是[5，＋∞)．
16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N“相交”，则a＝________.
答案　1
解析　M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝，此时M?N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意．