椭圆的概念与几何性质---直线与椭圆 Word

椭圆的概念与几何性质
一、知识梳理
1.椭圆弦及弦中点问题解题方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
2.直线与椭圆相交问题解题方法
（1）
解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
（2）设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝
(k为直线斜率).
3.最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
二、例题精讲
+
随堂训练
考点一　中点弦及弦长问题
角度1　中点弦问题
【例1－1】
已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解　(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
①－②得＝－＝－，
所以－＝，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
角度2　弦长问题
【例1－2】
(2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解　(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
【训练1】
(1)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________.
解析　(1)法一　由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，得3x2－5x＝0，
故得A(0，－2)，B，则
|AB|＝＝.
法二　由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y得3x2－5x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
则|AB|＝
＝
＝＝.
(2)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：(2)法一　∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，
由消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.∴所求椭圆方程为＋＝1.
法二　∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0).
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得＋＝0，
即·＝－，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.
答案　(1)　(2)D
考点二　最值与范围问题
【例2】
(2019·天津和平区质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，由＝得代入椭圆方程得b2＝1，则椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(
)
因直线l与E有两个交点，即方程(
)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得则满足条件的斜率k的取值范围为∪.
【训练2】
已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－答案　A
考点三　巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求
【例3】
(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析　法一　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×?yA＋yB＝p，由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
法二　(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
易知直线AB的斜率kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝?＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案　y＝±x
考点四　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法
【例4】
(1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为________________.
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________.
解析　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则
从而即M，
又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0.
(2)当k＝0时，显然成立.
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝
＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，
所以－综上，k的取值范围为(－，).
答案　(1)x＋y＋＝0　(2)(－，)
考点五　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0
【例5】
已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
解　假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y得2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
考点六　求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求
【例6】
(2017·全国Ⅰ卷改编)已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________.
解析　法一　由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得消去x得y2－2ty－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.
所以|AB|＝|y1－y2|＝＝＝2t2＋2，
同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
法二　由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.
由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋.
由抛物线的定义知，
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
答案　8
三、课后练习
1.(2019·北京东城区调研)已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：＋＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为(　　)
A.2－5
B.2－4
C.4－11
D.4－10
解析　易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝12.当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去.所以m＝4.联立得x2－16x＋24＝0.又x≤2，所以x＝8－2.故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－2)＝2－5.
答案　A
2.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为(　　)
A.
B.
C.1
D.2
解析　联立方程可得消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案　C
3.已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________.
解析　依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，又由0答案　
4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值.
解　(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
则|AB|＝×＝.
点P到直线l的距离d＝＝.
所以S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值为2.
5.椭圆＋＝1(a>b>0)，直线l1：y＝－x，直线l2：y＝x，P为椭圆上任意一点，过P作PM∥l1且与直线l2交于点M，作PN∥l2且与l1交于点N，若|PM|2＋|PN|2为定值，则椭圆的离心率为________.
解析　设|PM|2＋|PN|2＝t，M，N，P(x，y).因为四边形PMON为平行四边形，
所以|PM|2＋|PN|2＝|ON|2＋|OM|2＝(x＋x)＝t.
因为＝＋＝，
所以则x2＋4y2＝2(x＋x)＝t，此方程为椭圆方程，即＋＝1，则椭圆的离心率e＝＝.
答案