双曲线概念及几何性质(Word解析版)

双曲线的概念与几何性质
一、知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
3.重要结论
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
二、例题精讲
+
随堂训练
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(　　)
解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析　设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
答案　－＝1
3.已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析　设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
答案　6
4.(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A.(－，0)，(，0)
B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，)
D.(0，－2)，(0，2)
解析　由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案　B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析　由题意可得＝，所以a＝5.
答案　5
6.(2018·北京卷)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
解析　由题意可得，＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案　4
考点一　双曲线的定义及应用
【例1】
(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos
∠F1PF2＝(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析　(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos
∠F1PF2＝＝.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案　(1)C　(2)x2－＝1(x≤－1)
【训练1】
(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为(　　)
A.2a2
B.a2
C.30a2
D.15a2
(2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)
A.8
B.10
C.4＋3
D.3＋3
解析　(1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cos
∠F1AF2＝＝＝.
又0<∠F1AF<π，∴sin
∠F1AF2＝，
∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin
∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.
(2)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案　(1)B　(2)B
考点二　双曲线的标准方程
【例2】
(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
(2)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析　(1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
答案　(1)B　(2)C
规律方法　1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
【训练2】
(1)(2019·海南二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)
A.－y2＝1
B.－＝1
C.x2－＝1
D.－＝1
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为________________.
解析　(1)由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得
∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，λ＝－，
故所求双曲线方程为－＝1.
答案　(1)C　(2)－＝1
考点三　双曲线的性质
角度1　求双曲线的渐近线
【例3－1】
(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析　法一　由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二　由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案　A
角度2　求双曲线的离心率
【例3－2】
(1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A.
B.2
C.
D.
(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(1，2)
D.(2，＋∞)
解析　(1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案　(1)C　(2)A
角度3　与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－答案　A
【训练3】
(1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析　(1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，则＝1，得3a＝4b，
所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝，
又e>1，故e＝.
(2)对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4答案　(1)B　(2)(0，2)
三、课后练习
1.(2019·河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y＝±2x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.
由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案　D
2.已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.[，＋]
B.[2，＋1]
C.[2，＋]
D.[，＋1]
解析　如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，
∴r1r2＝2·c2·sin
2β，∴c2－a2＝c2·sin
2β，
∴e2＝，又∵β∈，∴sin
2β∈，
∴e2＝∈[2，(＋1)2].
又e>1，∴e∈[，＋1].
答案　D
3.(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
解析　设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或
e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1.∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
答案　－1　2
4.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
5.已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析　由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，
又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，
即m＋n＝3，
则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则解得
则|PF1|·|PF2|＝3.
答案　0　3