2020-2021学年度上学期安徽省桐城市龙河学校 九年级数学期末强化训练一（word版含答案）

2020-2021学年度上学期桐城市龙河学校沪科版九年级数学期末强化训练
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是(　　)
A．直线x＝
B．直线y＝－
C．y轴
D．直线x＝2
2．下列图形不一定相似的是(　　)
A．所有的等边三角形
B．所有的等腰直角三角形
C．所有的菱形
D．所有的正方形
3．若＝，则的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是(　　)
A．c＞0
B．2a＋b＝0
C．b2－4ac＞0
D．a－b＋c＞0
第4题图　　　　　　　第5题图　　　　　　　第6题图
5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(　　)
A．1∶9
B．1∶3
C．1∶8
D．1∶2
6．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线表达式是(　　)
A．y＝(x＋1)2－1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1
D．y＝(x－1)2－1
7．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为(　　)
A．－2
B．2
C．4
D．－4
第7题图　　　
第8题图　　　
第9题图　　　
第10题图
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(　　)
A．20
米
B．10
米
C．15
米
D．5
米
9．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20
m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5
m，两个路灯的高度都是9
m，则两路灯之间的距离是(　　)
A．24
m
B．25
m
C．28
m
D．30
m
10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10
cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为(　　)
A．72
cm
B．36
cm
C．20
cm
D．16
cm
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．平移抛物线y＝x2＋2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个表达式
．
12．对于任意实数t，抛物线y＝x2＋(2－t)x＋t必经过一定点，这个点是
．
13．如图，菱形ABCD的周长为20
cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为
cm2.
第13题图　　　　　　　第14题图
14．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝
．
三、解答题(共90分)
15．(8分)求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．
16．(8分)如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21
cm，AC＝15
cm，求菱形AMNP的周长．
17．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求的值；
(2)若BD＝10，求sin∠A的值．
18．(12分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋＝0有两个不相等的实数根，k为正整数．
(1)求k的值；
(2)当此方程有一根为零时，直线y＝x＋2与关于x的二次函数y＝x2＋2x＋的图象(如图)交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标．
19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
20．(10分)在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高(≈1.4，≈1.7)．
21．(14分)如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y＝(a≠0，x＞0)分别交于D、E两点．
(1)若点D的坐标为(4，1)，点E的坐标为(1，4)；
①分别求出直线l与双曲线的表达式；
②若将直线l向下平移m(m＞0)个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
(2)假设点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．
22．(14分)(资阳中考)已知直线y＝kx＋b(k≠0)过点F(0，1)，与抛物线y＝x2相交于B、C两点．
(1)如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；
(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题图　　　　
　答图
参考答案
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是(　C　)
A．直线x＝
B．直线y＝－
C．y轴
D．直线x＝2
2．下列图形不一定相似的是(　C　)
A．所有的等边三角形
B．所有的等腰直角三角形
C．所有的菱形
D．所有的正方形
3．若＝，则的值是(　A　)
A.
B.
C.
D.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是(　D　)
A．c＞0
B．2a＋b＝0
C．b2－4ac＞0
D．a－b＋c＞0
第4题图　　　　　　　第5题图　　　　　　　第6题图
5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(　B　)
A．1∶9
B．1∶3
C．1∶8
D．1∶2
6．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线表达式是(　C　)
A．y＝(x＋1)2－1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1
D．y＝(x－1)2－1
7．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为(　A　)
A．－2
B．2
C．4
D．－4
第7题图　　　
第8题图　　　
第9题图　　　
第10题图
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(　A　)
A．20
米
B．10
米
C．15
米
D．5
米
9．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20
m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5
m，两个路灯的高度都是9
m，则两路灯之间的距离是(　D　)
A．24
m
B．25
m
C．28
m
D．30
m
10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10
cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为(　A　)
A．72
cm
B．36
cm
C．20
cm
D．16
cm
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．平移抛物线y＝x2＋2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个表达式
如y＝x2＋2x(答案不唯一，a＝1，c＝0即可)
．
12．对于任意实数t，抛物线y＝x2＋(2－t)x＋t必经过一定点，这个点是
(1，3)
．
13．如图，菱形ABCD的周长为20
cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为
24
cm2.
第13题图　　　　　　　第14题图
14．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝
12
．
三、解答题(共90分)
15．(8分)求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．
解：与x轴交点坐标为(2，0)，(3，0)，与y轴交点坐标为(0，6)，最小值为－.
16．(8分)如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21
cm，AC＝15
cm，求菱形AMNP的周长．
解：∵四边形AMNP是菱形，∴AM＝MN，MN∥AC，∴△ABC∽△MBC，∴＝，设AM＝MN＝x
cm，则＝，∴x＝，∴菱形AMNP的周长＝×
4＝35(cm)．
17．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求的值；
(2)若BD＝10，求sin∠A的值．
解：(1)；
(2)由(1)知＝，∴＝，∴AD＝BD＝5，∴AB＝15，∴sin
A＝＝.
18．(12分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋＝0有两个不相等的实数根，k为正整数．
(1)求k的值；
(2)当此方程有一根为零时，直线y＝x＋2与关于x的二次函数y＝x2＋2x＋的图象(如图)交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标．
解：(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4－4×
＞
0，∴k－1＜
2.∴k＜
3，∵k为正整数，∴k为1，2.
(2)把x＝0代入方程x2＋2x＋＝0得k＝1，此时二次函数为y＝x2＋2x，此时直线y＝x＋2与二次函数y＝x2＋2x的交点为A(－2，0)，B(1，3)由题意可设M(m，m＋2)，其中－2＜
m＜
1，则N(m，m2＋2m)，MN＝m＋2－(m2＋2m)＝－m2－m＋2＝－(m＋)2＋.∴当m＝－时，MN的长度最大值为.此时点M的坐标为(－，)．
19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
(1)证明：证∠ABE＝∠ADB＝∠DBC，又∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；
(2)解：∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BD＝2BE，由△ABE∽△DBC，得＝，
＝，2BE2＝AB·BC，解得BE＝20，∴AE＝＝15.
20．(10分)在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高(≈1.4，≈1.7)．
解：AB＝(18＋6)≈28.2米．
21．(14分)如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y＝(a≠0，x＞0)分别交于D、E两点．
(1)若点D的坐标为(4，1)，点E的坐标为(1，4)；
①分别求出直线l与双曲线的表达式；
②若将直线l向下平移m(m＞0)个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
(2)假设点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．
解：(1)①把D(4，1)代入y＝得a＝4，所以反比例函数表达式为y＝(x＞
0)；设直线l的表达式为y＝kx＋t，把D(4，1)，E(1，4)代入得直线l的表达式为y＝－x＋5；②直线l向下平移m(m＞
0)个单位得到y＝－x＋5－m，当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，化为关于x的方程得x2＋(m－5)x＋4＝0，Δ＝(m－5)2－4×
4＝0，解得m1＝1，m2＝9，而m＝9时，解得x＝－2，
故舍去，所以当m＝1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；
(2)作DF⊥x轴，∵点D为线段AB的n等分点，∴DA∶
AB＝1∶
n，∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO，∴＝＝，即＝＝，∴AF＝，DF＝，∴OF＝a－，∴D点坐标为(a－，)，把D(a－，)代入y＝得(a－)·＝a，解得b＝.
22．(14分)(资阳中考)已知直线y＝kx＋b(k≠0)过点F(0，1)，与抛物线y＝x2相交于B、C两点．
(1)如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；
(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题图　　　　
　答图
解：(1)y＝－x＋1；
(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD＝OF，如图所示，设M(x，－x＋1)，则D(x，x2)，∵MD∥y轴，∴MD＝|－x＋1－x2|，由MD＝OF，可得|－x＋1－x2|＝1，①－x＋1－x2＝1时，解得x1＝0(舍)或x1＝－3，所以M(－3，)，②当－x＋1－x2＝－1时，解得，x＝，所以M(，)或M(，)，综上所述，M点坐标为(－3，)或(，)或(，)．