人教版数学九年级上册 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 同步课件(共21张PPT)

二次函数y=ax2+bx+c
图象和性质
x
y
o
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，
向上
向下

2.对称轴是 ；
3.顶点坐标是 。
直线X=h
(h,k)
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5



y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6
直线x=–3
直线x=1
直线x=2
直线x=3
向上
向上
向下
向下
（－3，5）
（1，－2）
（3，7 ）
（2，－6）
你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？
2
1
2
如何画出 的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗?
配方

y= — (x―6) +3
2
1
2
你知道是怎样配方的吗？
5
10
5
10
O
x
y
x
…
…
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
6
5
4
3
7
8
9
函数
的图象特征

归纳
二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
2
1
2
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
函数y=ax?+bx+c的图象
配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
化简:去整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
去掉中括号
提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
∵a=3>0,∴开口向上;
对称轴:直线x=1;
顶点坐标:(1,2).
求次函数y=ax?+bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax?+bx+c的顶点是
配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
这种形式的式子通常被称为抛物线的顶点式.
函数y=ax?+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
二次函数
的性质：
（1）顶点坐标:
（2）对称轴是直线:
如果a＞0，当
时，函数有最小值，
如果a＜0，当
时，函数有最大值，
（4）最值：
①若a＞0，当
时，y随x的增大而增大；
当
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
时，y随x的增大而减小；
当
时，y随x的增大而增大。
（5）增减性：
与y轴的交点坐标为（0，c）.
(6)抛物线
与坐标轴的交点
①抛物线
②抛物线
与x轴的交点坐标为
，其中
为方程
的两实数根.
所以当x＝2时， 。
解法一（配方法）：
例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
因为
所以当x＝2时， 。
因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值，
总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．
解法二（公式法）：
又
例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： ，
∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，
y随x的增大而减小。
解法二：
，∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
3．
图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把
化为
的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：