(共57张PPT)
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝
(n∈N
).
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有
项.
(3)二项式系数：各项的系数
(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.
n＋1
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第
项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝
.
思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
k＋1
答案 一般不同.前者仅为
，而后者是字母前的系数，故可能不同.
1.(a＋b)n展开式中共有n项.( )
2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( )
3.
an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项.( )
4.(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.( )
5.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、二项式定理的正用、逆用
44
∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
反思感悟
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
二、二项展开式的通项的应用
(1)展开式中含x的一次项；
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).
(2)展开式中所有的有理项.
反思感悟
求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
所以第3项的系数为240.
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
三、求两个多项式积的特定项
例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1
√
所以a＝－1，故选D.
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
C.2
D.－2
√
解析 (1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，
反思感悟
跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)
－20
四、二项式定理的应用
例4 (1)试求2
01910除以8的余数；
解 2
01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2
01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即2
01910除以8的余数也为1.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N
)能被64整除.
证明 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N
，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，
故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.
的展开式中含x3项的二项式系数为
A.－10
B.10
C.－5
D.5
√
1
2
3
4
5
2.
的展开式中的常数项为
A.80
B.－80
C.40
D.－40
√
1
2
3
4
5
3.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于
A.x3
B.－x3
C.(1－x)3
D.(x－1)3
√
4.若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝_____.
1
2
3
4
5
11
1
2
3
4
5
解析 原式＝(2＋1)n＝3n.
3n
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
1.知识清单：
(1)二项式定理.
(2)二项展开式的通项公式.
2.方法归纳：转化化归.
4
课时对点练
PART
FOUR
解析 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
基础巩固
1
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5.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
B.5
C.－10
D.10
√
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6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)
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28
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所以n2＝81，又n∈N
，故n＝9.
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(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
解 设第k＋1项含x3项，
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10.已知m，n∈N
，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
解 由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N
，∴1≤m≤18.
＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，
综合运用
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11.(多选)对于二项式
(n∈N
)，下列判断正确的有
A.存在n∈N
，展开式中有常数项
B.对任意n∈N
，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N
，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N
，展开式中有一次项
√
√
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由通项公式可知，当n＝4k(k∈N
)和n＝4k－1(k∈N
)时，
展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.
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12.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为
A.7
B.8
C.9
D.10
√
解析 由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，
又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，
从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
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13.(x2＋2)
的展开式的常数项是
A.－3
B.－2
C.2
D.3
√
令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.
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14.已知在
的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为____；
10
解得n＝10.
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(2)含x的整数次幂的项有____个.
6
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，
分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
拓广探究
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15.(a＋b＋c)n(n∈N
)的展开式中的项数为____________.
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16.已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列.
＝a1(1－q)3.
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(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
解 归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
＝a1(1－q)n，n为正整数.
＝a1(1－q)n.
本课结束
