(共53张PPT)
第六章 §6.2 排列与组合
6.2.1 排 列
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解并掌握排列的概念.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
一定的顺序
知识点二 排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的
完全相同.
(2)元素的排列
也相同.
元素
顺序
1.123与321是相同的排列.(
)
2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.( )
3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.
( )
4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.
( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话.
一、排列的概念
解 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.
反思感悟
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，
故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
二、画树形图写排列
例2 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法.
解 树形图(如图)：
由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
反思感悟
树形图的画法
(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.
(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类.
(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止.
跟踪训练2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
解 由题意作树形图，如图.
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.
解 由题意作树形图，如图.
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个.
三、简单的排列问题
例3 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法.
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.
反思感悟
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解.
跟踪训练3 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为
A.15
B.30
C.12
D.36
√
解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种).
(2)3盆不同品种的花排成一排，共有_____种不同的排法.
解析 共有3×2×1＝6(种)不同的排法.
6
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
√
√
√
解析 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
1
2
3
4
5
√
解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
1
2
3
4
5
3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为
A.5
B.10
C.20
D.60
√
解析 不同的送书种数为5×4＝20.
1
2
3
4
5
4.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有____个.
24
1
2
3
4
5
5.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有_______种不同的种法.
1
680
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，
则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，
所以不同的种法共有8×7×6×5＝1
680(种).
1.知识清单：
(1)排列的定义：顺序性.
(2)“树形图”法列举排列.
(3)排列的简单应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：排列的定义不明确.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有
A.加法
B.减法
C.乘法
D.除法
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，
故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
2.某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为
A.20
B.15
C.10
D.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
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15
16
3.从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为
A.2
B.4
C.12
D.24
√
4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为
A.6
B.4
C.8
D.10
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
√
解析 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
1
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14
15
16
5.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
√
解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法.
1
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13
14
15
16
6.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________
_____________________________.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，
bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树形图如右：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
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16
7.车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为_____.
60
解析 由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，
所以安排方法有5×4×3＝60(种).
1
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3
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16
8.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有____种.
20
解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法.
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9.写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
解 列出每一个起点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
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2
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(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
解 由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种.
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10.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
解 三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一.
第一步，得首位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个).
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(2)可以排出多少个不同的三位数？
解 三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个).
综合运用
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11.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为
A.9
B.12
C.15
D.18
√
解析 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数.
12.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为
A.54
B.45
C.5×4×3×2
D.5
1
2
3
4
5
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解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，
故一定有1名同学没有票.
因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.
又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.
√
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13.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有
A.4种
B.5种
C.6种
D.12种
√
解析 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；
同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
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14.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是_____.
336
解析 从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，
故共有336种不同的选派方案.
15.用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：
(1)三位数_____个；
拓广探究
1
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900
解析 由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个).
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(2)无重复数字的三位数_____个；
648
解析 百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数.
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(3)小于500且无重复数字的三位奇数_____个.
144
解析 小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：
第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；
第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种).
由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种).
1
2
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13
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16
16.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.
解 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
本课结束
