(共68张PPT)
第六章 §6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能用计数原理推导排列数公式.
2.能用排列数公式解决简单的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A
表示.
思考 排列与排列数相同吗？
答案 排列数是元素排列的个数，两者显然不同.
所有不同排列的个数
知识点二 排列数公式及全排列
1.排列数公式的两种形式
(1)A
＝
，其中m，n∈N
，并且m≤n.
(2)A
＝
.
2.全排列：把n个不同的元素
取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A
＝n！(叫做n的阶乘).规定：0！＝
.
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
全部
1
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
6
12
2
4.甲、乙、丙三人站成一排，共有____种不同站队方式.(用排列数表示)
2
题型探究
PART
TWO
一、排列数公式的应用
命题角度2 利用排列数公式化简
例1－2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N
且n<55)；
解 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).
反思感悟
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
化简得x2－19x＋84<0，解得7①
√
由①②及x∈N
，得x＝8.
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2－1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
命题角度2 定序问题
例2－2 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
解 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2－3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种？
解 方法一 把元素作为研究对象.
方法二 把位置作为研究对象.
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象.
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 间接法.
反思感悟
排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
解 (捆绑法)因为三个女生必须排在一起，
所以可以先把她们看成一个整体，
解 (插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，
这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.A
等于
A.9×3
B.93
C.9×8×7
D.9×8×7×6×5×4×3
√
2.89×90×91×92×…×100可表示为
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A.144
B.72
C.36
D.12
√
1
2
3
4
5
36
1
2
3
4
5
5.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有_____个七位数符合条件.
210
1.知识清单：
(1)排列数、排列数公式.
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题).
2.方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.设m∈N
，且m<15，则A
等于
A.(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)
B.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)
C.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
D.(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 A
是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m).
2.已知
＝10，则n的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
1
2
3
4
5
6
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9
10
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16
解析 由
＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
√
1
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3.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有
√
4.要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是
A.20
B.16
C.10
D.6
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√
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5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3!
B.3×(3！)3
C.(3！)4
D.9!
√
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6.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言.(用数字作答)
1
560
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7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法.
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8.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种.
(用数字作答)
36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A
＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法.
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9.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
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(2)2个唱歌节目互不相邻；
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(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
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10.用0,1,2,3,4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
解 各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2
500(个)符合要求的数.
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(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
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(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？
解 构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
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2
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(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
综合运用
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5
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√
√
12.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是
A.9
B.10
C.18
D.20
1
2
3
4
5
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13.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有____种不同的招聘方案.(用数字作答)
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，
则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.
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14.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____种不同的信号.
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拓广探究
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15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有______种.
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008
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因此，满足题意的方案共有1
440－2×240＋48＝1
008(种).
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16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
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即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N
，
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
本课结束
