6.2.3 组 合
6.2.4 组合数
第1课时 组合及组合数的定义
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
知识点一 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
知识点二 排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( √ )
2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．( × )
3．组合数C＝.( √ )
4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( √ )
一、组合概念的理解
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中．
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A与组合数C间的等量关系吗？
解 (1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.
(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A个排列，即A＝CA.类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数A与组合数C间的等量关系为A＝CA.
反思感悟 组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．
(2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解．
跟踪训练2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
三、简单的组合问题
例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．
答案 (1)45 (2)21 (3)90
解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即C＝＝＝45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝＋＝＋＝15＋6＝21(种)不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝×＝90(种)．
反思感悟 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )
A．a，b，c—b，c，a
B．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，c
D．a，b，c—a，b，d
答案 ABC
2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10
B．5
C．4
D．1
答案 B
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )
A．4×13手
B．134手
C．A手
D．C手
答案 D
解析 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌．
4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)
①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；
②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；
③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．
答案 ①② ③
解析 ①②为组合问题，③为排列问题．
5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．
答案 ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)用列举法写组合．
2．方法归纳：枚举法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1,2,3组成两位数的不同方法数
D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
答案 AB
2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种
B．C种
C．CA种
D．30种
答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人，即C.
3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3
B．4
C．12
D．24
答案 B
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )
A．4
B．8
C．28
D．64
答案 C
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．
5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有( )
A．C种
B．A种
C．C种
D．C种
答案 C
解析 只需再从其他7名队员中选3人，即C种选法．
6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．
答案 84
解析 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C＝＝＝84(种)选法．
7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．
答案 6
解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C＝＝＝6(个)．
8．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答)
答案 10
解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C＝＝＝10(种)不同方法．
9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90.
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C＝＝45.
(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝＝45.
(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝＝120.
(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A＝720.
10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
解 (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C＝＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝＝＝120(个)．
11．(多选)下列问题是组合问题的有( )
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2
021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
答案 ABC
解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.
12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种
B．36种
C．10种
D．6种
答案 D
解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C＝＝6(种)不同的选法．
13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224
B．112
C．56
D．28
答案 B
解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝·＝112.
14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
答案 1∶2
解析 ∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.
15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有________个矩形；
(2)从A点走向B点最短的走法有________种．
答案 (1)210 (2)210
解析 (1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210(种)走法．
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问：全部赛程共需比赛多少场？
解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．(共65张PPT)
第六章 6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
第2课时 组合数公式
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.
2.能运用组合数公式进行计算.
3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 组合数公式
组合数
公式
乘积形式
＝_________________________，
其中m，n∈N
，并且m≤n
阶乘形式
＝______________
规定：C
＝
.
1
知识点二 组合数的性质
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
2
020
3
6
2或3
2
题型探究
PART
TWO
一、组合数公式的应用
∵n∈N
，∴n＝10，
命题角度2 与组合数有关的证明
命题角度3 与组合数有关的方程或不等式
例1－3 (1)(多选)若
，则n的可能取值有
A.6
B.7
C.8
D.9
√
√
√
√
又n∈N
，则n＝6,7,8,9.
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N
，∴m＝2，
反思感悟
＝4
950＋200＝5
150.
二、有限制条件的组合问题
例2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
解 至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
(3)既要有队长，又要有女生当选.
解 分两类：
所以共有495＋295＝790(种)选法.
反思感悟
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
跟踪训练2 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
A.210种
B.420种
C.56种
D.22种
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
√
命题角度1 平均分组
例3－1 (1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
三、分组、分配问题
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.
命题角度2 不平均分组
例3－2 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？
命题角度3 分配问题
例3－3 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法.
反思感悟
“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
跟踪训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多1个球，有多少种放法？
解 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.
(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
与几何有关的组合应用题
典例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，
D3，D4.
核心素养之数学抽象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
CHOU
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
素养
提升
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.
(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.
的值为
A.72
B.36
C.30
D.42
√
2.若
＝28，则n的值为
A.9
B.8
C.7
D.6
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.若
，则m等于
A.9
B.8
C.7
D.6
√
1
2
3
4
5
4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为____.
解析 从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，
96
1
2
3
4
5
5.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有____种.
18
1.知识清单：
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
(4)分组分配问题.
2.方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想.
3.常见误区：分组分配中是否为“平均分组”.
4
课时对点练
PART
FOUR
1.计算：
等于
A.120
B.240
C.60
D.480
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A.60种
B.48种
C.30种
D.10种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.(多选)下列等式正确的有
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A是组合数公式；
B是组合数性质；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205
B.110
C.204
D.200
√
6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____.(用数字作答)
336
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种.
600
所以共有600种不同的选派方案.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
15
16
解 可以分三类：
11.若
，则n等于
A.12
B.13
C.14
D.15
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
12.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为
1
2
3
4
5
6
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√
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15
16
13.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
√
1
2
3
4
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7
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15
16
根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种).
1
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16
14.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为______.
1
560
解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
若4个组的人数按3,1,1,1分配，
若4个组的人数为2,2,1,1，
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
15.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1
B.2
C.3
D.4
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.
现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，
这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，
若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.故选BD.
1
2
3
4
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1
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12
13
14
15
16
16.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
1
2
3
4
5
6
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13
14
15
16
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解 第5次测试的产品恰为最后一件次品，
另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，
本课结束(共61张PPT)
第六章 6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
第1课时 组合及组合数的定义
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 组合及组合数的定义
1.组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
作为一组
所有不同组合的个数
知识点二 排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数
与排列数
间存在的关系
＝______
1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.
( )
2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.( )
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
一、组合概念的理解
解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
解 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思感悟
排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可.
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合.
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.
解 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中.
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
反思感悟
组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕.
跟踪训练2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.
解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.
三、简单的组合问题
例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.
(1)现要从中选2名去参加会议，有____种不同的选法；
45
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有____种不同的选法；
21
解析 可把问题分两类情况：
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有____种不同的选法.
90
反思感悟
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数.
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
解 从口袋内的8个球中取出3个球，
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
解 从口袋内取出3个球有1个是黑球，
于是还要从7个白球中再取出2个，
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 由于所取出的3个球中不含黑球，
也就是要从7个白球中取出3个球，
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是
A.a，b，c—b，c，a
B.a，b，c—a，c，b
C.a，c，d—d，a，c
D.a，b，c—a，b，d
√
√
√
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10
B.5
C.4
D.1
1
2
3
4
5
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法.
√
1
2
3
4
5
3.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为
A.4×13手
B.134手
C.A
手
D.C
手
√
解析 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C
手不同的牌.
1
2
3
4
5
4.下列问题中，组合问题有______，排列问题有____.(填序号)
①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；
②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；
③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.
解析 ①②为组合问题，
③为排列问题.
①②
③
1
2
3
4
5
5.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_______________________.
ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
1.知识清单：
(1)组合与组合数的定义.
(2)排列与组合的区别与联系.
(3)用列举法写组合.
2.方法归纳：枚举法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有
A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数
D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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15
16
√
1
2
3
4
5
6
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8
9
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11
12
13
14
15
16
3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为
A.3
B.4
C.12
D.24
√
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
1
2
3
4
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13
14
15
16
4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为
A.4
B.8
C.28
D.64
√
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有
√
6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有___种不同选法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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16
84
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为____.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是____.(用数字作答)
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
15
16
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
1
2
3
4
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7
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14
15
16
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
1
2
3
4
5
6
7
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11
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13
14
15
16
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
1
2
3
4
5
6
7
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11
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13
14
15
16
10.平面内有10个点，其中任意3个点不共线.
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
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14
15
16
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条.
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
解 所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，
11.(多选)下列问题是组合问题的有
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2
021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可
以构成多少条线段
C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个
D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独
舞节目，有多少种选法
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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14
15
16
√
√
√
解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.
1
2
3
4
5
6
7
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11
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13
14
15
16
12.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有
A.60种
B.36种
C.10种
D.6种
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
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14
15
16
√
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3
4
5
6
7
8
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12
13
14
15
16
13.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为
A.224
B.112
C.56
D.28
√
解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，
1
2
3
4
5
6
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15
16
14.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝______.
1∶2
15.某区有7条南北向街道，5条东西向街道.(如图)
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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14
15
16
(1)图中有_____个矩形；
210
(2)从A点走向B点最短的走法有_____种.
1
2
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5
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11
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15
16
210
解析 每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，
其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，
1
2
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15
16
16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
解 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，
所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
解 半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问：全部赛程共需比赛多少场？
解 决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
本课结束
