必修二第1章立体几何初步 基础测试题-2020-2021学年高一数学上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版必修二第一章立体几何初步基础测试题
一、单选题
1．下列叙述中，错误的一项为（ ）
A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2．下列几何体中，多面体是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．①③⑤ B．①⑥ C．①③⑥ D．③④⑥
4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)
A．π B．π C．16π D．24π
5．下列说法正确的是（ ）
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
D．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥．
6．在直三棱柱的棱所在直线中，与直线异面的直线条数为（ ）
A． B． C． D．
7．一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）倍
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的底面边长是，高为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，下列直线与平面AD'C平行的是（ ）
A．B'C' B．A'B
C．A'B' D．BB'
10．设有不同的直线和不同的平面，给出下列三个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．已知是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）
A．已知，若，则 B．已知，若，则
C．已知，若，则 D．已知，若，则
12．长方体中，,为中点，则异面直线与所成角为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为________．
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________.
15．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥.
其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的编号）
16．如图，正方体中，有以下结论：①平面；②；③平面；④直线与BC所成的角为，其中正确的结论为________.
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：//平面．
18．已知正方体，
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角．
19．如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC.
21．如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值．
22．底面半径为2，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数.
（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
参考答案
1．D
【分析】
根据棱柱的定义，判断出命题错误的选项.
【详解】
定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.
定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；
正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；
故选D.
【点睛】
本小题主要考查棱柱的定义，考查棱柱的几何特征，属于基础题.
2．B
【分析】
判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.
【详解】
A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；
C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.
故选B.
【点睛】
本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
直接利用棱柱的定义判断即可．
【详解】
由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义．
故选A．
【点睛】
本题考查棱柱的判断，定义的应用，是基础题．
4．B
【分析】
由球的表面积求得球的半径，再求体积．
【详解】
设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
则球的体积V＝πR3＝π.
故选B．
【点睛】
本题考查球的表面积和体积，属于基础题．
5．B
【分析】
结合多面体的几何性质逐项分析，A项中两点连线需平行于轴；B项正确；
C项结合棱台定义可判断错误；D项若边为斜边时不满足
【详解】
对A，只有两点连线平行于轴时，两点连线是母线，故A错；
对B，因为底面是正多边形，当相邻两侧面和底面垂直时，可推出所有侧面和底面都垂直，故为正棱柱，B正确；
对C，根据棱台的定义，上下底面应为相似形且侧棱的长不一定相等；
对D，若旋转的边为斜边，则旋转体为两个圆锥的组合体
故选B
【点睛】
本题考查几何体的特征，属于基础题
6．C
【分析】
根据异面直线的定义画图分析即可得到结果.
【详解】
如图，
与直线异面的直线有：A1B1，A1A，AC共3条.
故选C.
【点睛】
本题考查异面直线的判断，理解并掌握异面直线的定义是关键，属基础题.
7．A
【分析】
梯形的直观图仍是梯形，且上下底保持不变，设原来梯形的高为，则在直观图中表示梯形高的线段应为，且与底边夹角为，故梯形直观图的高为
【详解】
设原来梯形上下底分别为，高为，则梯形面积为
在梯形直观图中，上下底保持不变，表示梯形高的线段为，且与底边夹角为，故梯形直观图的高为，
梯形直观图的面积为

故选A
【点睛】
本题考查斜二测画法中原图与直观图的面积关系，直观图面积与原图面积比为．
8．B
【分析】
计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积.
【详解】
正四棱锥的底面积为，因此，该正四棱锥的体积为.
故选B.
【点睛】
本题考查正四棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，属于基础题.
9．B
【分析】
根据直线与平面平行的判定定理可得选项.
【详解】
因为 ，平面平面，所以平面．
故选B．
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，属于基础题.
10．A
【分析】
根据线线平行的定义和性质、平面与平面平行或垂直的性质与判定，逐项判断即可得出结论.
【详解】
①若，当a，b共面时，满足或a与b相交；当a，b不共面时，a和b为异面直线，所以a和b的关系是平行、相交或异面，故不正确；
②若，则或与相交，故不正确；
③若，则或与相交，故不正确.
故选A.
【点睛】
本题主要考查空间直线与直线，平面与平面的位置关系的判断，掌握线线平行的定义和性质、平面与平面平行或垂直的性质与判定是解决本题的关键，属基础题.
11．D
【分析】
A. n和m的方向无法确定,不正确；
B. 要得到,需要n垂直于平面内两条相交直线,不正确；
C. 直线n有可能在平面内,不正确；
D. 平行于平面的垂线的直线与此平面垂直,正确.
【详解】
A. 一条直线与一个平面平行,直线的方向无法确定,所以不一定正确；
B. 一条直线与平面内两条相交直线垂直,则直线垂直于平面, 无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线,所以不一定正确；
C. 直线n有可能在平面内,所以不一定正确；
D. ,则直线n与m的方向相同,,则,正确；
故选D
【点睛】
本题考查了直线与平面的位置关系的判断,遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.
12．C
【分析】
连接，根据，可得异面直线与所成的角为，解三角形求得的大小.
【详解】
画出长方体如下图所示，连接，由于，所以异面直线与所成的角为，在三角形中，，故三角形是等边三角形，所以.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
13．
【分析】
根据底面半径为3，侧面积为，求得高，再代入体积公式求解.
【详解】
由已知圆柱的底面半径,设高为，
侧面积为， 所以，
所以圆柱的体积为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题.
14．
【分析】
由三视图可知，该几何体是半个圆柱，圆柱的底面半径，圆柱的高，从而可得结果.
【详解】
由三视图可知，该几何体是半个圆柱，圆柱的底面半径，圆柱的高，所以圆柱的表面积为，
故答案为：.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”.
15．④
【分析】
利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可
【详解】
解：对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误；
对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误；
对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误；
对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的，
故答案为：④
【点睛】
此题考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题
16．①②③④
【分析】
在①中，由，推导出平面；在②中，推导出，由三垂线定理知，；在③中，推导出，，，从而得到平面；在④中，异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，由此求出直线与所成的角为．
【详解】
在①中，由正方体的性质得，，
平面，故①正确；
在②中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影，
由三垂线定理知，，故②正确；
在③中，由正方体的性质得，由②知，，，
同理可证，故平面内的两条相交直线，
平面，故③正确；
在④中，异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
故为异面直线与所成的角，
在等腰直角中，，故直线与所成的角为，故④正确．
故答案为： ①②③④
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.
（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为，平面平面，
平面平面，
平面，则平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
在中，因为，分别是，的中点，
所以//，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以//，且，
所以//，且
在平行四边形是平行四边形，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）即为异面直线与所成的角，求出即可．
【详解】
（1）证：在正方体中，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面；
（2）解：∵，
∴即为异面直线与所成的角，
设正方体的边长为，
则易得，
∴为等边三角形，
∴，
故异面直线与所成的角为．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题．
19．（1）详见解答；（2）.
【分析】
（1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可证明结论；
（2）平面，用等体积法求三棱锥的体积.
【详解】
（1）为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，平面平面，
平面平面；
（2）且，分别为的中点，
，
平面，，
.
【点睛】
本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结果；
（2）推导出，，从而平面PAC，由此能证得结果.
【详解】
（1）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴，
∵平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
（2）∵在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，
D、E分别为PC、AC的中点，
∴，，
∵，∴平面PAC．
∵平面ABC，
∴平面BDE⊥平面PAC．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）推导出，，，从而平面，由此能证得结论；
（2）先得平面平面，推导出即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成的角的正弦值.
【详解】
（1）证明：由已知可得在直角梯形中，
，，，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）得平面，∵平面，∴平面平面，
过点在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，，平面，平面，
∴即为直线与平面所成角，
中，，，，
所以，，且，
∴，∴，
∴直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
22．（1）；（2），.
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
【详解】
（1）由题意：
.
（2）
，，
当时，.