必修二第1章立体几何初步 综合测试题-2020-2021学年高一数学上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版必修二第一章立体几何初步综合测试题
一、单选题
1．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为( )
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
2．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A．正方体 B．球体
C．圆锥 D．长宽高互不相等的长方体
3．一梯形的直观图如图所示，是面积为的等腰梯形，则原梯形面积为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为（ ）

A．① B．①② C．② D．①②③
6．已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（ ）
A．4 B． C． D．
7．设表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则
C．若，则 D．若，则
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，底面圆的半径等于，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
11．已知四面体，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积和的面积相等
二、填空题
13．如图，在正方体中，过点作平面的垂线，则直线与直线所成角的余弦值为__．
14．下列命题中，
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
③棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形；
④棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.
其中错误的有______．
15．点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1(线段BC1)上运动，给出下列五个命题：
①直线AD与直线B1P为异面直线；
②A1P面ACD1；
③三棱锥A-D1PC的体积为定值；
④面PDB1⊥面ACD1.
⑤直线与平面所成角的大小不变；
其中所有正确命题的序号是___________.
16．已知三棱锥中，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为__________.
三、解答题
17．在三棱锥中，，，点、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
18．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为.

（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设?为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的正切值.
19．如图，长方体中，，，点为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
20．将棱长为正方体截去一半(如图1所示)得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.
（1）证明：AF⊥平面；
（2）求三棱锥的体积.
21．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于?的点.
（1）求证：平面；
（2）若，，，求圆柱的侧面积.
22．如图所示，在长方体中，，，为线段上一点．
（1）求证：；
（2）当为线段的中点时，求点到平面的距离．
参考答案
1．D
【分析】
利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.
【详解】
对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确
故选：D
【点睛】
此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.
2．C
【分析】
根据基本几何体的三视图确定．
【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
3．D
【分析】
把该梯形的直观图还原为原来的梯形，画出图形，结合图形解答问题即可.
【详解】
解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；
设该梯形的上底为，下底为，高为，
则直观图中等腰梯形的高为，
∵等腰梯形的面积，
.
∴该梯形的面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，是基础题目.
4．C
【分析】
通过图形可以看出平面和平面相交于一条直线，直线和直线相交于一点，直线在平面内.
【详解】
结合图形可以得出平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点A，
结合选项可得C正确；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查空间点线面的位置关系及符号表示，注意点在直线上和直线在平面内的所用符号的区别，侧重考查数学抽象的核心素养.
5．C
【分析】
平移直线，判断平移后的直线：若在面上，则平面，还是与面交于一点则与面不平行，即可知正确选项.
【详解】
①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；
③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
故选：C．
6．D
【分析】
由已知可得该直三棱柱的主视图为矩形，矩形的高2 ，底边的范围 最短是正三角形的高，最长为正三角形的边长 ，进而求出该直三棱柱的主视图的面积的范围，可得答案．
【详解】
棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，
故该直三棱柱的主视图为矩形（中间可能有一竖线)，
矩形的高，
底边，，
故该直三棱柱的主视图的面积，，
ABCD中只有D中的，，
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出该直三棱柱的主视图的面积的范围，是解答的关键．
7．D
【分析】
根据线面之间的位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：选项A中，若，则，还有直线在平面内的情况，故A不正确，
选项B中，若 ，则，有可能两个平面相交，故B不正确，
选项C中，若，则，还有两个平面相交的可能，故C不正确.
选项D中，若，则，满足直线与平面垂直的性质定理，所以D 正确；
故选：D.
8．C
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可．
【详解】
由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，

取的中点，则，
易知，，
又底面，
所以，
从而最长棱为和，
所以最长的棱长为：．
故选：．
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.
9．A
【分析】
利用圆锥的侧面展开图可求出答案.
【详解】
将圆锥展开，
底面周长：，
圆心角，
，
最短路径：
故选：A
10．B
【分析】
选项，正方形的直观图是平行四边形；选项，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
【详解】
解：选项，正方形的直观图是平行四边形，故错误；
选项，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；
选项，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故错误；
选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误．
故选：．
11．A
【分析】
本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.
【详解】
因为平面，，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：
则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.
12．D
【分析】
选项中，由正方体的性质和线面垂直的判定定理可以得到平面，进而得出，正确；选项中，由正方体的性质和线面平行的判定定理可得平面，根据平面的基本性质可得平面与平面重合，得出平面，正确；选项中，由的面积为定值，点到平面的距离定值，得为定值，正确；选项中，由点、到直线的距离不相等，得的面积与的面积不相等，错误．
【详解】
解：如图所示，连接,

对于A，平面,平面,,
又∵底面为正方形，,
由,平面，
平面，
又平面，
，故A正确；
对于B，平面，平面，
∴平面，
又、在直线上运动，
平面与平面重合，
平面，故B正确；
对于C，由于点到直线的距离不变，故的面积为定值；
又点到平面的距离为，故为定值，C正确；
对于D，点、到直线的距离不相等，
的面积与的面积不相等，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线与平面平行和垂直的判定问题，也考查了柱、锥体的面积与体积计算问题，是中档题．注意C中的三棱锥的底面和高的选择，尽量选择面积一定的面作为底面，可以更容易判定体积为定值.
13．
【分析】
连结，则平面，从而，直线与直线所成角为，由此能求出结果．
【详解】
如图，连接，连接，则
则在正方体中，平面，
平面，，
，平面，
平面，，
同理可得,
,则平面，，
直线与直线所成角为，
连结，在△中，设，则，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．①②③
【分析】
构造合适的图形，结合棱柱的定义可判断①②③④的正误.
【详解】
由棱柱的定义可知，只有④正确，分别构造图形如下：

图1 图2 图3
图1中平面与平面平行，但四边形与不全等，故①错；图2中正六棱柱的相对侧面与平行，但不是底面，②错；
图3中直四棱柱底面是平行四边形，③错.
故答案为：①②③.
15．②③④
【分析】
①由点P与点重合时判断；②利用面面平行的判定定理证明平面面ACD1 即可；③由三棱锥VA-D1PC判断；④易得DB1⊥面ACD1,再利用面面垂直的判定证明；⑤由DB1⊥面ACD1, 则是平面ACD1一个法向量，由与的夹角判断.
【详解】
①当点P与点重合时，直线B1P为直线，由正方体的特征知，所以直线AD与直线B1P不为异面直线，故错误；
②因为，则平面ACD1，因为，则平面ACD1， 又，所以平面面ACD1 ，而A1P平面， 所以A1P面ACD1，故正确；
③因为，又面积定值，且，所以高为定值，所以三棱锥A-D1PC的体积为定值，故正确；
④由正方体的特征得，所以平面 ，所以DB1⊥，同理DB1⊥，又， 所以DB1⊥面ACD1，因为DB1面PDB1，所以面PDB1⊥面ACD1，故正确；
⑤由④知DB1⊥面ACD1, 是平面ACD1的一个法向量，则与的夹角不断变化，所以直线与平面所成角的大小不断变化，故错误；
故答案为：②③④
16．
【分析】
由三棱锥的棱两两相等，所以把它扩展为长方体，即可由此求出球半径，得出体积.
【详解】
由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，
设长方体的棱长分别为，则，
则，
设球半径为，
则，即，
则球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查外接球问题，解题的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题.
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）推导出，由此能证明平面．
（2）推导出，，，由此能证明平面．
【详解】
（1）点、分别为、的中点．
，
平面，平面，
平面．
（2），，点、分别为、的中点，
，，，
，
平面．
【点睛】
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可．
【详解】
解：（1）底面
由题意高，底面半径，
所以母线
圆锥的侧面积
（2）取的中点为，因为为的中点
所以，就是直线与直线所成的角．
因为，，
所以平面，平面，
在Rt△PNM中，，．
所以的正切值为．
即直线与直线所成的角正切值为．
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设和交于点，则为的中点，连结，证明，然后证明直线平面．
（2）说明直线与平面所成的角，通过求解三角形推出结果即可．
【详解】
（1）证明：设和交于点，则为的中点，
连结，又因为是的中点，故
又因为平面，平面
所以直线平面
（2）在长方体中
∵平面
∴是直线与平面所成的角
∵，
∴
∴直线与平面所成角的正切值为
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接DE，交AF于点O，由线面垂直的判定定理可得证；
（2）由平几知识先求得底面积，再运用三棱锥的体积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：连接DE，交AF于点O，
∵⊥平面ABCD，平面ABCD，∴⊥AF.
∵点E，F分别是BC，的中点，∴DF=CE，
又∵AD=DC，．∴△ADF≌△DCE，∴∠AFD=∠DEC，
又∵∠CDE+∠DEC=，∴∠CDE+∠AFD=．
∴∠DOF=?( +∠AFD)= ，即AF⊥DE.
又∵∩DE=D，
∴AF⊥平面.
（2）∵⊥平面ABCD，∴是三棱锥D1?AEF的高，且=a，
∵点E，F分别是BC，DC的中点，∴DF=CF=CE=BE=，
∴，
∴=D==.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据圆柱的几何特征易得平面，从而，再由是的直径，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明.
（2）根据，，求得BC，再结合，求得AB，然后由S侧求解.
【详解】
（1）如图所示：
由已知可知平面，平面，
点是上异于?的点，是的直径，
所以，
又，
∴平面.
（2）在中，，，，
，
圆柱的侧面积为：S侧 .
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可
（2）利用等体积法，进而求解即可
【详解】
（1）证明：连接，
因为是长方体，且，所以四边形是正方形，所以，因为在长方体中，平面，平面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，因为平面，所以．
（2）点到平面的距离，的面积，
所以，
在中，，，所以，
同理．又，所以的面积．
设三棱锥的高为，则因为，所以，
所以，解得，即三棱锥的高为．
所以点到平面的距离为．
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于利用等体积法，进而得出，进而求出三棱锥的高