必修一第3章基本初等函数（Ⅰ）综合测试题-2020-2021学年高一数学上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版必修一第三章基本初等函数（Ⅰ）综合测试题
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．1 B．
C．5 D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数①，②， ③， ④， ⑤，⑥中，是幂函数的是（　　）
A．①②④⑤ B．①⑤⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
4．已知，则 （　　）
A． B． C． D．
5．函数恒过定点（ ）
A．（-1,2） B．（1,-2） C．（1,2） D．（-1,-2）
6．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
11．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
二、填空题
13．若f(x)＝则f(x)的值域为________．
14．函数的图象恒过定点_________.
15．已知定义在上的函数，满足，，若对，都有，则______．
16．下列命题中所有正确的序号是_____________.
①函数且的图像一定过定点；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③若，则的取值范围是；
④若 (,)，则.
三、解答题
17．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.
（1）求m值.
（2）若满足，求a的取值范围.
18．已知函数f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0．
（1）求a，b的值；
（2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值．
19．已知函数f（x）＝loga（x2﹣x+1）（a＞0且a≠1）
（1）当a变化时，函数y＝f（x）的图象恒过定点，试求定点坐标；
（2）若f（2）＝，求a的值；
（3）若f（x）在区间[0，2]上的最大值为2，求a的值．
20．设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调增区间.
21．已知，函数．
（1）当时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．
22．已知函数，且f(x)是定义域为R的奇函数.
（1）求a和b的值，并判断f(x)的单调性（只用写结论）；
（2）若对任意实数m，不等式f(m-1)+f(m2+t)0恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
根据1的对数为0,底数的对数为1可得的值,再求可得答案.
【详解】
由得，得，
由得，得，
故.
故选:A.
【点睛】
本题考查了对数的性质, 1的对数为0,底数的对数为1是两个常用性质,一定要牢记,属于基础题
2．D
【分析】
根据分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零列不等式组，解出即可.
【详解】
解：由已知得，解得：，
故选：D.
【点睛】
本题考查求具体函数的定义域，一般根据以下几个方面列不等式：分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零.
3．B
【分析】
由题意利用幂函数的定义：幂函数是形如 的函数，逐一判断得出结论．
【详解】
解：根据幂函数的定义：幂函数是形如 的函数。
在函数中：
①是的情形，是幂函数；
②系数是 ，不是幂函数；
③系数是， 是一次函数，不是幂函数；
④不是幂函数，；
⑤是的情形，是幂函数；
⑥是的情形，是幂函数。
故是幂函数的有①⑤⑥，
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
由，得，由此能求出结果．
【详解】
解：，
．
故选：C
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．C
【分析】
根据指数型函数过定点的知识，求得函数的定点.
【详解】
当，即时，，所以函数恒过定点.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
6．A
【分析】
根据对数的基本性质，，解方程即可求出的值.
【详解】
因为，所以，
所以，所以.
故选：A
7．A
【分析】
通过与比较大小，得到的大小关系.
【详解】
，，，所以可得.
故选：A.
8．D
【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.
【详解】
由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
9．A
【分析】
根据复合函数“同增异减”的性质即可求解
【详解】
由知，即或，
结合复合函数“同增异减”的性质可知，当时，单调递减.
故选：A
【点睛】
本题考查复合函数单调区间的求解，属于基础题
10．B
【分析】
根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.
【详解】
由题可知：函数是幂函数
则或
又对任意的且，满足
所以函数为的增函数，故
所以，又，
所以为单调递增的奇函数
由，则，所以
则
故选：B
【点睛】
本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.
11．A
【分析】
利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】
当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题考查函数方程（不等式）恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
12．B
【分析】
计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.
【详解】
对于A，根据题意知，.
∵，
，
，∴函数不是偶函数，故A错误；
对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确；
对于C，，， ，即的值域是，故C错误；
对于D，的值域是，则的值域是，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.
13．(－2，－1]
【分析】
分别根据分段函数的两段定义域求对应函数的值域，再求并集.
【详解】
当x∈(－∞，1]时，x－1≤0，0<3x－1≤1，－2故答案为：(－2，－1]
14．（2，8）
【分析】
根据对数函数过定点的性质，令真数等于1即可．
【详解】
因为
令即时，，
故函数的图象恒过定点，
故答案为：
15．4
【分析】
先判断出函数在定义域上是单调增函数，再换元求出的解析式，即得解.
【详解】
因为定义在上的函数，满足，，
所以在定义域上是单调增函数，
故可设，即，
由，得．
所以，
由此可知，所以．
故答案为：4
【点睛】
关键点睛：本题的关键是求出函数的解析式，这里求解析式时，运用了换元的方法.
16．①③④
【分析】
由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．
①，令代入判断，②利用函数的定义求出的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数，由它的单调性判断．
【详解】
①令，则，即图象过点，①正确；
②，则，∴的定义域是，②错；
③，∴，∴．③正确；
④由 (,)，得，
又是上的增函数，
∴由，得，即，④正确．
故答案为：①③④
【点睛】
关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数且的图象恒过定点；
（2）对数函数且的图象恒过定点，
解题时注意整体思想的应用．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可知为负偶数，且，即可求得m值；
（2）将所求不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为函数在上单调递减，
所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
（2）由（1）可知，，所以得，解得或，
即a的取值范围为.
18．（1）a＝1，b＝0；（2）当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0．
【分析】
（1）利用二次函数的性质求出a，b的值；
（2）求出函数的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x值．
【详解】
（1）f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0，
即＝1，f(1)＝a+b﹣1＝0，解得a＝1，b＝0；
（2）由（1）知f(x)＝(x﹣1)2，
，g(|2x﹣1|)＝，
令t＝|2x﹣1|，∵，则，
由对勾函数的性质可得，
此时t＝1即|2x﹣1|＝1，解得x＝1；
又，，
当t＝3时，解得x＝2时，
所以当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，当x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0
19．（1）（0，0）和（1，0）；（2）a＝9；（3）或.
【分析】
（1）令x2﹣x+1＝1，解出方程的根，可得定点坐标；
（2）由 解出a的值；
（3）令u＝x2﹣x+1，y＝logau，按0＜a＜1和a＞1分别讨论复合函数的单调性，得出最大值，可得a．
【详解】
（1）令x2﹣x+1＝1，解得x1＝0，x2＝1，而f（0）＝f（1）＝loga1＝0，
因此，函数y＝f（x）的图象恒过定点（0，0）和（1，0）；
（2），∴，解得a＝9；
（3）令u＝x2﹣x+1，y＝logau，则二次函数u＝x2﹣x+2在区间上单调递减，在区间上单调递增．
①当0＜a＜1时，由于外层函数y＝logau为减函数，
所以，函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当0≤x≤2时，函数f（x）在x＝处取得最大值，
即，即，解得满足题意
②当a＞1时，由于外层函数y＝logau为增函数，
所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当0≤x≤2时，函数f（x）在x＝0或x＝2处取得最大值，
但f（0）＝0，则必有f（2）＝loga3＝2，即a2＝3，解得，合乎题意！
综上所述，a的值为或．
20．（1）a＝2，定义域为；（2）.
【分析】
（1）由即可求出，满足即可求出定义域；
（2）求出在的递增区间即可.
【详解】
（1），解得，
，
，解得，
的定义域为；
（2），，
在单调递增，
的单调增区间为.
21．（1）（2）．
【分析】
（1）根据对数函数的性质可解得结果；
（2）根据函数的单调性求出最大最小值，根据题意得到对任意t∈[，1]恒成立，不等式右边构造函数求出最大值即可得解.
【详解】
（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），
令f（x）＞0，得，得，
故不等式的解集是.
（2）因为函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
所以，，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1对任意t∈[，1]恒成立，
即对任意t∈[，1]恒成立，
即，即对任意t∈[，1]恒成立，
设1﹣t＝r，因为，所以，
所以，
当r＝0时，，
当时，，
∵在上单调递减，所以当时，取得最小值，
此时取得最大值.
所以.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
22．（1），单调递增；（2）
【分析】
（1）由是定义域为R的奇函数可得，求出再验证即可，再根据解析式即可得出单调性；
（2）根据奇函数和函数单调递增可得对任意实数m恒成立，即可求解.
【详解】
（1）是定义域为R的奇函数，
，即，解得，
当时，，则，
是奇函数，满足题意，
，
，且单调递增，
在上单调递增；
（2）是奇函数，
等价于，
在上单调递增，
，即对任意实数m恒成立，
，
.
【点睛】
本题考查利用奇函数的性质解不等式，解题的关键是将不等式化为，得出对任意实数m恒成立.