安徽省桐城市重点中学2020-2021学年高一上学期1月月考数学试卷 Word版含答案解析

桐城市重点中学2020-2021学年高一上学期1月月考
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
方程组的解集可表示为
A. B.
C. ， D.
已知集合，若，则实数a的值为
A. B. 2 C. 4 D. 2或?4
已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是
A. 1 B. C. 0，1 D. ，0，1
下面的对应是从集合A到集合B的一一映射
A. ，，对应关系f：，，
B. ，非负实数，对应关系f：，，
C. 2，3，，4，6，8，，对应关系f：，，
D. 平面上的点，，，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标
对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是
A. B. C. D.
已知，点，，都在二次函数的图象上，则
A. B. C. D.
已知定义在R上的函数的值域为，则函数的值域为
A. B. C. D.
某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为
A. 181 B. 182 C. 183 D. 184
已知函数的值域是，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
已知函数，则不等式的解集为
A. B. C. D.
已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为
A. B. C. D.
若存在，且存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设函数，函数的定义域为______．
函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为______．
已知集合A，B，C，且，，若2，3，，1，2，，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为______．
已知函数，若方程有两个实根为，，且，，则实数a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知集合，，，求Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ．
已知满足，求解析式；
已知函数，当时，求的解析式．
已知集合，．
若，求a的取值范围；
若，求a的取值范围．
已知二次函数，，，且对任意实数x均有成立．
求解析式；
若函数在上的最小值为，求实数m的值．
已知定义在R上的函数对任意，都有等式成立，且当时，有．
求证：函数在R上单调递增；
若，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．
已知函数．
当时，求函数的单调递减区间；
当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：方程组的解为，
方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，
，、、均符合题意．
故选：C．
求出方程组的解，结合选项即可得解．
本题主要考查方程组的解以及集合的表示方法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合的关系，元素的性质，是基础题．
由集合，，得，或，再由集合中元素的互异性能求出实数a的值．
【解答】
解：集合，，
，或，
解得或或．
当时，2，，成立；
当时，，A中有两个相等元素，不满足互异性；
当时，，A中有两个相等元素，不满足互异性．
实数a的值为．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用，属于基础题．
若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意可得，集合A为单元素集，
当时，，此时集合A的两个子集是，，
当时??则解得，
当时，集合A的两个子集是，，
当，此时集合A的两个子集是，．
综上所述，a的取值为，0，1．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：对于选项A：集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的y的值，所以选项A错误；
对于选项B：集合X中的元素2与都与集合Y中的元素16对应，所以不是从集合X到集合Y的一一映射，所以选项B错误；
对于选项C：集合N中的元素10在集合M中没有原像，所以不是从集合M到集合N的一一映射，所以选项C错误；
对于选项D：平面上的任意一点都存在唯一的有序实数对与之对应，反过来，任意一组有序实数对都对应平面上的唯一的一个点，所以是从集合A到集合B的一一映射，所以选项D正确，
故选：D．
利用映射和一一映射的定义求解．
本题主要考查了映射和一一映射的概念，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：集合U，M，N的关系如图，
由图形看出，是空集．
故选：B．
根据题目给出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的图形表示法，考查了数形结合的解题思想，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：，，
即三点都在二次函数对称轴的左侧，
又二次函数在对称轴的左侧是单调减函数，

故选：B．
欲比较，，的大小，利用二次函数的单调性，只须考虑三点的横坐标是不是在对称轴的某一侧，结合二次函数的单调性即得．
本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：R上的函数的值域为，则的值域也为，
故，
设，则，
，，
由二次函数的性质可知：
当时，取最大值1；
当时，取最小值；
的值域为，
故选：C．
由的值域可知的值域，先用换元法设将转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出的值域．
本题考查了利用换元法和数形结合思想，判断二次函数的最值问题，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，
根据题意，用韦恩图表示，如图所示：
，
由韦恩图可知，听讲座的人数为人，
故选：D．
设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出
本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
9.【答案】C
【解析】解：要使函数的值域是，则的最小值，
当时，，符合题意；
当时，要使函数的值域是，
则为二次函数，开口向上，且与x轴有交点，
，且，
或；
综上可知或，
故选：C．
，则为一次函数，符合题意；
，为二次函数，需要开口向上，且与x轴有交点，用判别式求解m的范围即可．
本题需要对和进行分类讨论，当时结合利用二次函数的根的存在性判断即可，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数，有，解可得，
即函数的定义域为，
函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，则函数在区间上为增函数，
则，解可得，即不等式的解集为，
故选：C．
根据题意，先分析函数的定义域，再由常见函数的单调性可得在区间上为增函数，由此原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：设，由，可得，
则当时，恒成立，
即为，即在恒成立，
即有在的最小值，
由，当且仅当时，取得等号，
则，即，
可得m的取值范围是．
故选：D．
设，，原不等式等价为在恒成立，即有在的最小值，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围．
本题考查函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：因为，
所以，
则，
所以原不等式可变为，
因为，
所以原不等式进一步变形为，
所以，
令，
则在区间上是减少的，
由存在性可知在区间上有解，
所以在上的最大值应不小于0，
所以，
即，
解得：，
综上可得：m的取值范围为．
故选：C．
由题易知恒成立，则此时利用恒定非负将不等式进行变形求解即可．
本题考查基本不等式及不等式恒成立问题，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：要使有意义，则：，解得，
的定义域为．
故答案为：．
根据，的解析式即可得出：要使得有意义，则需满足，然后解出x的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数在区间上单调递增，
区间是函数增区间的子集，
当时，函数，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，函数的增区间为，
，解得，
；
当时，函数的增区间为，
，解得，
，
综上所述，实数k的取值范围为，
故答案为：．
由题意可知区间是函数增区间的子集，对k分情况讨论，利用二次函数的性质求解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，对k分情况讨论是解题关键，是中档题．
15.【答案】24
【解析】解：因为集合A，B，C，且，，2，3，，1，2，，
所以集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1，2，3，
所以满足上述条件的集合，，，，，，，2，，
所有满足要求的集合A的各个元素之和为：．
故答案为：24．
由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论．
本题考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用．
16.【答案】
【解析】解：方程即为，
亦即，由题意，
，即．
且，，
又，得，，
当时，有最小值4，则a有最大值，
当或3时，有最大值，则a有最小值为．
实数a的取值范围为，
故答案为：
把方程有两个实根为，，转化为有两个实根为，，由根与系数的关系及可得a与t的关系，分离a，结合双勾函数求最值．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用双勾函数求最值，是中档题．
17.【答案】解：集合，
，，Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ或，
或．
【解析】化简集合A、B，再求与、．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
18.【答案】解：解令，则，
所以，整理得，
则，
解得：；
由于函数，
当时，．
故：．
【解析】直接利用换元法的应用和解方程组求出函数的关系式．
利用函数的定义域的应用求出函数的关系式．
本题考查的知识要点：函数的解析式的求法，换元法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：由集合，所以或，
又，，
所以，解得；
所以实数a的取值范围是．
若，则，
当时，，解得；
当时，有，
要使，则，
解得；
综上知，实数a的取值范围是；
所以时a的取值范围是的补集，
为．
【解析】根据补集与并集的定义，列出不等式组求得a的取值范围．
根据得，讨论和时，分别求出对应a的取值范围，
再求时a的取值范围．
本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与转化能力，是中档题．
20.【答案】解：二次函数，，，所以，，
对任意实数x均有成立，，解得，，
所以函数的解析式为：；
，函数的对称轴为，
当时，，则舍；
当时，，得．
综上，．
【解析】利用函数值以及函数的值域，转化求解a，b，c，即可得到函数的解析式．
求出函数的解析式，通过函数的最小值，求解m的值即可．
本题考查函数的解析式的求法，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
21.【答案】证明：任取，，且，则，
，，
故函数在R上单调递增．
解：，
，
原不等式等价于，
故恒成立，
令，，
，，，
．
【解析】任取，，且，则，结合已知条件以及单调性的定义推出结果．
结合已知条件推出恒成立，利用函数的性质，转化求解即可．
本题考查函数的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：因为，所以，
因为函数的对称轴为，开口向上，
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
又函数的对称轴为，开口向上，
所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；
因此，函数的单调递减区间为：和；
由题意，不等式可化为，
即在上恒成立，
令，
则只需即可；因为，所以，
因此，
当时，函数开口向上，对称轴为：，
所以函数在上单调递减；
当时，函数开口向上，对称轴为．
所以函数在上单调递增，
因此，
由得，解得或，
因为，所以．
即实数m的取值范围为．
【解析】求得时，的分段函数形式，结合二次函数的对称轴和单调性，可得所求单调递减区间；
由题意可得原不等式等价为在上恒成立，令，只需即可，写出的分段函数的形式，讨论单调性可得最小值，解不等式可得所求范围．
本题考查函数的单调区间的求法，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．