必修5 第1章解三角形 基础测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版必修5第一章解三角形基础测试题
一、单选题
1．中，分别是角所对应的边，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则边的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定是斜三角形 D．一定是直角三角形
4．在中，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
5．在，已知，则此三角形( )
A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
6．在△ABC中，若∠A=60°，b=3，c=8，则其面积等于（ ）
A．12 B． C． D．
7．已知在锐角中，角的对边分别为,且. 则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，则△ABC外接圆半径为
A．1 B． C． D．2
9．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
11．某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°,距离为海里,灯塔C在A的北偏西30°, 距离为海里,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°,则C与D的 距离为
A．20海里 B．海里 C．海里 D．24海里
12．在中，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．有无数个解
二、填空题
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_______________
14．在中，三个内角、、的对边分别是、、，若，，，则______.
15．在中，，，，则______________.
16．已知钝角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是_________.
三、解答题
17．在△ABC中，acosB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
18．在中，已知.
（1）求角；
（2）若，，求.
19．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．若的面积为,，且为锐角.
(1) 求的值；
(2) 求的值.
21．在中，，，．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值．
22．在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角;
（2）若，求外接圆的半径.
参考答案
1．B
【解析】
分析：直接利用正弦定理求解即可.
详解：，，，
由正弦定理可得，，故选B,
点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
2．A
【解析】
分析：根据正弦定理的式子，结合题中数据加以计算，即可得到边b的值．
详解：根据正弦定理可得：
故选A
点睛：本题给出三角形的两角及一角对边大小，求第另外的边长．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
3．D
【详解】
分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形.
解析：已知，利用正弦定理化简得：
，
整理得：，
，
，即.
则为直角三角形.
故选：D.
点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
4．C
【解析】
分析：利用正弦定理，化角为边，再由大边对大角可得结果.
详解：在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：a＞b，可得A＞B．
故选：C．
点睛：本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题.
5．C
【解析】
因为，所以由正弦定理可得，所以角的值有两个，此三角形有两解，故选C.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．B
【解析】
本题选择B选项.
7．A
【解析】
由正弦定理和余弦定理得,化简得.
8．D
【解析】
由正弦定理可得外接圆半径，
故选D．
9．B
【解析】
由题意，根据三角形面积公式，得，即，解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为.故选B.
10．B
【解析】
故选
11．B
【解析】
如图，在中，因为在处看灯塔在货轮的北偏东的方向上，距离为海里,货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，
由正弦定理
海里
在中，
由余弦定理得：
海里
故答案选
点睛：本题运用正弦定理和余弦定理解三角形，根据方位角得出三角形内各角度数，在中利用正弦定理计算出的长，在中利用余弦定理即可计算出结果
12．C
【分析】
通过作圆法可确定三角形解的情况.
【详解】
作垂直于所在直线，垂足为，则，
以为圆心，为半径作圆，可知与无交点，故三角形无解.
故选：C.
13．3
【分析】
由余弦定理即可求出.
【详解】
由余弦定理可得，即，
整理得，解得（舍去）或.
故答案为：3.
14．
【分析】
由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.
【详解】
在中，，
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.
15．1
【解析】
由题意，根据余弦定理得，即，解得，或（舍去）.故填1.
16．
【分析】
根据题意，得到4对应的角为钝角，或对应的角为钝角，结合余弦定理以及三角形的性质，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为3，4，为三角形的三边，
所以，即；
又该三角形为钝角三角形，则只能4对应的角为钝角，或对应的角为钝角，
若4对应的角为钝角，则，解得；
若对应的角为钝角，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由三角形形状求参数范围，考查余弦定理的应用，以及三角函数的性质，属于常考题型.
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；
（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．
【详解】
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB，
因为0＜B＜π，
所以，
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得，
所以a，c，
所以．
【点睛】
此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据不为0，得出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.
【详解】
（1）原式可化为：
，
，，
，
又，；
（2）由余弦定理，得，
，，
，
，
.
【点睛】
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，考查了平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握计算公式及法则是解本题的关键，属于基础题.
19．（1）；（2）.
【分析】
由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】
解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
20．（1）（2）
【分析】
(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA,
(2)先用余弦定理求出边a，再将式子化简，求解即可.
【详解】
（1）因为的面积为,
所以 ，所以 ．
因为 中，为锐角，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
，所以．
由正弦定理 , 所以 .
所以.
【点睛】
本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合，可以求出的值，运用正弦定理，可以求出a的值；
（Ⅱ）由，，运用诱导公式，可以求出的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值.
【详解】
解：（Ⅰ）在中，由，得．
因为，
由正弦定理，
得，即，
所以．
（Ⅱ）因为，，
所以，．
所以．
故．
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.
22．（1）；（2）.
【分析】
(1)利用正弦定理边化角公式可得,再将
整理可得
(2)根据余弦定理可得再根据正弦定理求出,即可得
【详解】
解:(1)由正弦定理知
有，且
所以
(2)
所以
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.