必修5 第1章解三角综合测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版必修5第一章解三角综合测试题
一、单选题
1．在中，、、分别为的内角、、的对边，、、，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在中，已知，则（ ）.
A．2 B． C． D．
3．若点在点的北偏西，则点在点的（ ）
A．北偏西 B．北偏西
C．南偏东 D．东偏南
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且，则A等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，，，，则其面积等于（ ）
A．或 B． C．或 D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，的面积为，则外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，分别是角，，的对边，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．设为的内心，延长线段交线段于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，，若三角形有两解，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，角所对的边为，若，则角的大小为__________.
14．在中，三个内角的对边分别为.若，，则____________.
15．已知的内角的对边分别为，若的面积为，则_____．
16．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为_______.
三、解答题
17．
设的内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求的周长；
（Ⅱ）求的值.
18．已知中，角的对边分别为，且的面积，
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最值.
19．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，求的面积．
20．如图，已知平面四边形中，为正三角形，，，记四边形的面积为.
（1）将表示为的函数；
（2）求的最大值及相应的值.
21．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
22．中，、、分别为的内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值；
（3）求的值.
参考答案
1．D
【分析】
根据题中条件，由正弦定理，得到，进而可得.
【详解】
由正弦定理得：，∴，
∵，∴，故角为锐角，
∴.
故选：D.
2．A
【分析】
根据正弦定理，得到，即可求解.
【详解】
由题意知，可得
根据正弦定理，可得，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】
先作图，观察方向角即得结果.
【详解】
如图，
点在点的南偏东，
故选:C.
4．A
【分析】
由题意，结合余弦定理求出即可得到的值．
【详解】
解：、、成等比数列，所以，因为，所以，由余弦定理可知，因为
所以
故选：A
5．C
【分析】
利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
解得：或，
当时，；
当时，；
综上所述：的面积为或.
故选：C.
6．C
【分析】
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设，
，
.
故选：C.
7．C
【分析】
先由三角形面积公式求出，再由弦定理求出，则可由求出，即可得外接圆面积.
【详解】
在中，
，则，
根据余弦定理：
，
则，外接圆直径
，则，
外接圆面积．
故选：C
8．C
【分析】
根据条件由正弦定理可得，再根据余弦定理可得得出答案.
【详解】
由，得，可得
所以，则
又，所以
故选：C
9．B
【分析】
由三角形的面积有，从而得出答案.
【详解】
由为的内心，则为的角平分线,即

由
所以
故选：B
10．C
【分析】
由正弦定理分析．
【详解】
三角形有两解．由正弦定理得，即，解得．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：在用正弦定理和余弦定理解三角形时，只有已知两边和一边对角时可能会出现两解的情形．如已知时，如果，则三角形有两解，其他都只会有一解或无解．在记不住条件时，可以先计算，只有，三角形才有解，当时再判断和的关系，如果，则有两解，否则只有一解．
11．B
【分析】
由已知和正弦定理得到，再根据得到，结合余弦定理可得答案.
【详解】
由及正弦定理得，
三角形中，
所以，
因为，所以，由余弦定理得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形问题，在解决有关三角形的问题时，正、余弦定理是一个很重要的工具，它们可单独或者联合解决一些问题.
12．B
【分析】
把已知式中2换成后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得，然后由正弦定理把用角表示，得周长的表达式，求出角范围后可得周长的范围，
【详解】
因为，，所以，
所以，
所以，则，即.
由正弦定理可得，
则，，
故的周长.
因为解得，则，故的周长.
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得，然后可得角范围，同时再用正弦定理求出边（表示为的函数），从而可求得周长的范围．
13．
【分析】
由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．
【详解】
解：，
由正弦定理可得：，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】
利用同角三角函数关系求得的值，再利用正弦定理先求出．
【详解】
由题意知，所以为锐角，且,
又,,
，
在中，由正弦定理得，
即，所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及同角三角函数的关系，难度较易.
（1）已知三角形的两角与其中一角的对边，解三角形时只需要求得两角的正弦值，然后代入正弦定理即可得解；
（2）已知三角形的两角及第三边时，要先利用两角和的三角函数公式求得另一角的正弦值，然后再利用正弦定理求解.
15．
【分析】
利用三角形面积公式和余弦定理可求得，由同角三角函数关系可求得结果.
【详解】
，，，
又，，，.
故答案为：.
16．
【分析】
设，在中，利用正弦定理得，由余弦定理得，然后在中，由余弦定理得（其中），从而可求出的最小值
【详解】
设，在中，由正弦定理得，即
整理得.
由余弦定理得，
因为，所以.
在中，
由余弦定理得
（其中），
所以当时，.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是在中，求出和，其中，再在中，利用余弦定理表示出，从而可求得结果，考查计算能力，属于中档题
17．（Ⅰ）的周长为5；.
（Ⅱ）
.
【解析】
分析：（I）利用余弦定理表示出的平方，把的值代入求出的值，从而求出三角形的周长；
（II）根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用正弦定理即可求出的值，根据大边对大角，可得为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
详解：（I）
的周长为
（II） 由正弦定理
，故为锐角．则
．
点睛：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
18．(1)；(2)无最小值，时取得最大值为
【分析】
（1）由三角形面积公式结合题中条件可求出的范围，进而可求出结果；
（2）先化简，再根据（1）的结果，结合正弦函数的性质即可求出结果.
【详解】
解：（1）由三角形面积公式可得，又
则，
；
(2)由题意，

无最小值，时取得最大值为.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理，由题中条件，求出外接圆的半径，进而可求出；
（2）先由（1）求出，根据余弦定理，求出的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】
（1）根据正弦定理，由可化为（其中为外接圆半径），
因为，，所以，
则；
（2）因为为锐角三角形，所，
由余弦定理可得：，即，
解得或，
当时，，此时为钝角，舍去．
所以，则．
20．（1）；（2）当时，的最大值为.
【分析】
（1）先由余弦定理得，再由三角形面积公式可得函数关系.
（2）由（1）所得函数关系，整理后得正弦型函数关系，可得最值.
【详解】
解：（1），
∴中，，
∵为正三角形
∴
∴四边形的面积为
，其中
（2）由（1）得，当时，
即时，的最大值为.
【点睛】
本题为三角应用题，考查余弦定理及面积公式，属于基础题.
21．（1）；（2）最大值为4.
【分析】
（1）利用正弦定理和三角函数的和差公式可得答案；
（2）由可求出，然后，然后可得答案.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）设的外接圆半径为R，∵，
∴，
∴
.
∵，∴，
当，即时，，即的最大值为4
22．（1）；（2）1；（3）.
【分析】
（1）根据，利用余弦定理求解.
（2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式求解.
(3)由正弦定理,转化为，利用两角和与差的三角函数的三角函数求解.
【详解】
（1）∵中，，
∵，
∴由余弦定理得：，
∵，
∴；
（2）因为，由余弦定理得，
又∵(当且仅当时取等号)，
∴，当且仅当时,取等号
所以取得最大值为；
(3)由正弦定理，得，
∴
，
∵
，
∴
【点睛】
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到，解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．