必修5 第2章数列 综合测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析
文档属性
| 名称 | 必修5 第2章数列 综合测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 09:39:58 | ||
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文档简介
人教B版必修5第二章数列综合测试题
一、单选题
1．在等差数列中，，，则的前项的和（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．7
3．在等比数列中，，，则与的等比中项为( )
A． B． C． D．
4．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，对任意 ，都有 ，则 等于（? ? ）
A． B． C． D．
6．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（ ）
A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31
7．已知正项等比数列满足，，又为数列 的前n项和，则（ ）
A． 或 B．
C．15 D．6
8．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为（ ）
A．16 B．80 C．120 D．150
9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
12．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
二、填空题
13．等比数列前项和为，若，，则________
14．设等差数列的前项和为，，则_______
15．已知数列满足，,则数列的通项公式为_______
16．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．
三、解答题
17．在数列中，
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
18．已知等差数列和等比数列中，，公差，公比，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列满足且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
20．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
21．已知递增的等差数列满足，，成等比数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）若求的前项和.
22．已知等比数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列及数列的前n项和．
参考答案
1．D
【分析】
利用等差中项的性质求出的值，即可求得的值.
【详解】
由等差中项的性质得，解得，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列求和，灵活利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
由等差数列通项公式即可求解
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题
3．D
【分析】
根据等比中项的性质进行求解即可.
【详解】
因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【点睛】
本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.
4．C
【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
由等比数列定义知是以为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可求得结果.
【详解】
由得：，即数列是以为公比的等比数列，
.
故选：A.
6．A
【分析】
由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.
【详解】
解：设公比为，则，即，解得，所以，
所以，
故选:A.
7．B
【分析】
首先利用等比数列的性质求和公比，再根据公式求.
【详解】
正项等比数列中，
，
，
解得或（舍去）
又，
，
解得，
，
故选：B
8．C
【分析】
根据分和，利用“”法求得，进而求得，然后利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为
若，则 ，不成立，
所以，则，
解得，
所以，
所以，
所以数列的前15项和为，
故选：C.
9．D
【分析】
设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】
设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
10．C
【分析】
由数列中项的递推关系可得，由相邻两项积为负有，即可得n的值，进而确定符合条件的相邻两项.
【详解】
，则．
要使，即，可得，，
∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，
故选：C
11．D
【分析】
依题意，到为止，新的数列共有项，计算出截止到共有91项，将前100项分为3部分，一部分，之前的1一部分，之后的1一部分，求和即可.
【详解】
依题意，到为止，新的数列共有项，
由于，即截止到共有91项，
故数列的前100项的和为，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：理解的意义，将数列的前100项分为三部分是解题的关键.
12．D
【分析】
由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】
解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
13．3
【分析】
根据等比数列的前项和公式计算．
【详解】
由题意，解得．
故答案为：3．
14．
【分析】
由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.
【详解】
因为，
所以，，
所以．
故答案为：15.
【点睛】
本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．
15．
【分析】
利用已知等式可得，证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导求得结果.
【详解】
由得：，即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
，.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：递推关系为，可通过构造数列是公比为的等比数列来进行求解.
16．
【分析】
将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.
【详解】
由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，
最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
17．（1）同解析，（2）
【解析】
（1）
（2）
两式相减得
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用等差和等比数列通项公式分别求得和，由此可求得结果；
（2）利用错位相减法可求得结果.
【详解】
（1）由等差数列通项公式知：；
由等比数列通项公式知：，
；
（2）由（1）知：，
，
两式作差得：，
，
.
【点睛】
方法点睛：当数列通项满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列通项公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据题意可得，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】
（1）因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
（2）由（1）可知，所以
因为，所以
……
，，
各式相加得：，
又，所以，
又当n=1时，满足上式，所以
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；
（2）由利用裂项相消求和即可.
【详解】
（1）∵，
∴，解得，
当时，由①可得，
②，
①－②：，
∵，∴，∴，
即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
（2）由（1）可得
∴
，
综上所述，.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）先设的公差为，由题中条件列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据等差数列的求和公式，求出时，，再验证也满足该式，即可得出结果.
【详解】
（1）设的公差为，
由题中条件可得，
解得，∴；
（2）当时，，
当时，，适合上式，
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的运算，考查等差数列的求和，涉及等比中项的应用，属于基础题型.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（Ⅱ）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出.
【详解】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（Ⅱ）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得：①
②
①﹣②得：，
可得.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
一、单选题
1．在等差数列中，，，则的前项的和（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．7
3．在等比数列中，，，则与的等比中项为( )
A． B． C． D．
4．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，对任意 ，都有 ，则 等于（? ? ）
A． B． C． D．
6．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（ ）
A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31
7．已知正项等比数列满足，，又为数列 的前n项和，则（ ）
A． 或 B．
C．15 D．6
8．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为（ ）
A．16 B．80 C．120 D．150
9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
12．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
二、填空题
13．等比数列前项和为，若，，则________
14．设等差数列的前项和为，，则_______
15．已知数列满足，,则数列的通项公式为_______
16．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．
三、解答题
17．在数列中，
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
18．已知等差数列和等比数列中，，公差，公比，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列满足且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
20．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
21．已知递增的等差数列满足，，成等比数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）若求的前项和.
22．已知等比数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列及数列的前n项和．
参考答案
1．D
【分析】
利用等差中项的性质求出的值，即可求得的值.
【详解】
由等差中项的性质得，解得，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列求和，灵活利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
由等差数列通项公式即可求解
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题
3．D
【分析】
根据等比中项的性质进行求解即可.
【详解】
因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【点睛】
本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.
4．C
【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
由等比数列定义知是以为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可求得结果.
【详解】
由得：，即数列是以为公比的等比数列，
.
故选：A.
6．A
【分析】
由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.
【详解】
解：设公比为，则，即，解得，所以，
所以，
故选:A.
7．B
【分析】
首先利用等比数列的性质求和公比，再根据公式求.
【详解】
正项等比数列中，
，
，
解得或（舍去）
又，
，
解得，
，
故选：B
8．C
【分析】
根据分和，利用“”法求得，进而求得，然后利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为
若，则 ，不成立，
所以，则，
解得，
所以，
所以，
所以数列的前15项和为，
故选：C.
9．D
【分析】
设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】
设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
10．C
【分析】
由数列中项的递推关系可得，由相邻两项积为负有，即可得n的值，进而确定符合条件的相邻两项.
【详解】
，则．
要使，即，可得，，
∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，
故选：C
11．D
【分析】
依题意，到为止，新的数列共有项，计算出截止到共有91项，将前100项分为3部分，一部分，之前的1一部分，之后的1一部分，求和即可.
【详解】
依题意，到为止，新的数列共有项，
由于，即截止到共有91项，
故数列的前100项的和为，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：理解的意义，将数列的前100项分为三部分是解题的关键.
12．D
【分析】
由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】
解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
13．3
【分析】
根据等比数列的前项和公式计算．
【详解】
由题意，解得．
故答案为：3．
14．
【分析】
由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.
【详解】
因为，
所以，，
所以．
故答案为：15.
【点睛】
本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．
15．
【分析】
利用已知等式可得，证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导求得结果.
【详解】
由得：，即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
，.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：递推关系为，可通过构造数列是公比为的等比数列来进行求解.
16．
【分析】
将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.
【详解】
由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，
最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
17．（1）同解析，（2）
【解析】
（1）
（2）
两式相减得
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用等差和等比数列通项公式分别求得和，由此可求得结果；
（2）利用错位相减法可求得结果.
【详解】
（1）由等差数列通项公式知：；
由等比数列通项公式知：，
；
（2）由（1）知：，
，
两式作差得：，
，
.
【点睛】
方法点睛：当数列通项满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列通项公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据题意可得，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】
（1）因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
（2）由（1）可知，所以
因为，所以
……
，，
各式相加得：，
又，所以，
又当n=1时，满足上式，所以
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；
（2）由利用裂项相消求和即可.
【详解】
（1）∵，
∴，解得，
当时，由①可得，
②，
①－②：，
∵，∴，∴，
即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
（2）由（1）可得
∴
，
综上所述，.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）先设的公差为，由题中条件列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据等差数列的求和公式，求出时，，再验证也满足该式，即可得出结果.
【详解】
（1）设的公差为，
由题中条件可得，
解得，∴；
（2）当时，，
当时，，适合上式，
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的运算，考查等差数列的求和，涉及等比中项的应用，属于基础题型.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（Ⅱ）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出.
【详解】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（Ⅱ）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得：①
②
①﹣②得：，
可得.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.