期末综合测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）

人教B版数学（理）高二上册期末综合测试题
一、单选题
1．已知命题，，那么是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．若且，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：的左右焦点分别为，，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C．6 D．12
6．某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（　　）
A．akm B． C． D．2akm
7．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为（ ）.
A．4 B．5 C． D．
8．在中，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．有无数个解
9．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
10．在数列中，对任意 ，都有 ，则 等于（? ? ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，点是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．5 D．9
二、填空题
13．已知实数，满足，则的最大值为_______.
14．设的内角所对的边分别为，已知，则的取值范围为__________.
15．已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，连接，在中，，，则双曲线的离心率为__________.
16．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），给出下列结论：
①平面平面；
②多面体的体积为定值；
③直线与所成的角可能为；
④可能是钝角三角形．
其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题
17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
（1）若a＝3，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.
18．在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
19．椭圆：，椭圆：()的一个焦点坐标为，斜率为的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，点、在椭圆上，且，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，侧面为等边三角形，、分别为、的中点，平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
21．已知等比数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列及数列的前n项和．
22．如图，在长方体中，，点是线段的中点.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求二面角的大小的正弦值.
参考答案
1．C
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得出正确答案.
【详解】
因为命题，，
所以是
故选：C
2．B
【分析】
利用等差数列的性质以及前项和的定义可得，结合即可得正确选项.
【详解】
因为是等差数列，由可得，
所以，
因为公差，所以，，都不成立，
故选：B
3．C
【分析】
设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以.
故选：C.
4．C
【分析】
由且可得，即可依次判断.
【详解】
由且可得，可知选项A，B正确，不符合题意；
由可得，所以，选项C错误，符合题意；
，选项D正确，不符合题意.
故选：C.
5．B
【分析】
根据周长求出的值，再求出即得解.
【详解】
由周长为可得的周长为，
所以，，
所以椭圆的短轴长为，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：解答椭圆的问题时，看到焦半径要马上联想到椭圆的定义，并利用椭圆的定义优化解题，提高解题效率.
6．C
【分析】
根据余弦定理可求得结果.
【详解】
由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，
由余弦定理得，
，
所以，
即门店A，B间的距离为.
故选：C.
7．C
【分析】
求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为，由，，三点共线求解.
【详解】
如图所示：
设点在准线上的射影为，
由抛物线的定义，得，
因此，的最小值，即的最小值，
由平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，
因此最小值为，
，
周长的最小值为，
故选：C.
8．C
【分析】
通过作圆法可确定三角形解的情况.
【详解】
作垂直于所在直线，垂足为，则，
以为圆心，为半径作圆，可知与无交点，故三角形无解.
故选：C.
9．A
【分析】
由渐近线方程可知，根据的关系直接求离心率.
【详解】
因为由渐近线方程得，，，
得，.
所以双曲线的离心率为.
故选:A.
10．A
【分析】
由等比数列定义知是以为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可求得结果.
【详解】
由得：，即数列是以为公比的等比数列，
.
故选：A.
11．C
【分析】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，计算两向量夹角，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，、、两两垂直，
以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设棱长为，
则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，不妨令，则，即；
设平面的一个法向量为，
则，即，不妨令，则，即，
所以，则；
又二面角显然是锐二面角，
所以二面角的大小为.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
12．D
【分析】
由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】
如图可知x，y均为正，且，
，当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为9.
故选:D.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．
【分析】
由实数，满足，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，由直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.
【详解】
由实数，满足，画出可行域如图所示阴影部分：
将目标函数，转化为，平移直线，
当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，
此时，目标函数取得最大值，最大值为4，
故答案为：4
14．
【分析】
由题中条件，根据余弦定理，利用基本不等式，求出的最大值，再根据三角形的性质，即可得出结果.
【详解】
因为中，，，
由余弦定理可得，，
即，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
又在三角形中，两边之和大于第三边，则，
综上，.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
15．
【分析】
设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.
【详解】
设，则由双曲线定义可得，
，则，
则，解得，从而.
在中，，
即，解得.
故答案为：2
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是利用已知条件结合双曲线定义正确表示出各线段长度，利用余弦定理建立关于的方程求解.
16．①②④
【分析】
根据面面垂直的判定定理可判断①的正误；根据正方体的性质及椎体的体积公式，可判断②的正误；根据题意当P运动到B的位置时，最大即为，根据正弦函数的定义即可求得的最大值，即可判断③的正误；如图建系，利用向量的夹角公式，即可求得的表达式，根据范围，即可判断④的正误，即可得答案.
【详解】
对于①：因为正方体，所以平面，
又为线段上的动点，所以平面，
又平面，所以平面平面，故①正确；
对于②：因为正方体，所以，
又为线段上，所以P到平面的距离恒等于1，
所以多面体的体积，为定值，故②正确；
对于③：因为，所以与所成的角，即为与所成的角，即即为所求，
由图可得，当P运动到B的位置时，最大即为，
此时，
在中，，
所以，所以当P运动时，不可能为，故③错误；
对于④：分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示：
所以，所以，
因为为线段上运动，设，，，所以，
所以，所以，
所以，
所以
因为，所以当时，，
即此时为钝角，所以可能是钝角三角形，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】
解题的关键是熟悉正方体的性质及面面垂直的判定定理、体积公式等知识，在判断是否为钝角三角形时，可建系，利用向量求夹角公式求解．考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
17．（1）[﹣4，5]；（2）a≥6.
【分析】
（1）当a＝3时，化简集合A，利用并集定义求解即可；
（2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，列出不等式解出实数a的取值范围．
【详解】
（1）当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，
B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
（2）A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
所以，
所以，所以a≥6.
所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知得，利用同角三角函数基本关系式可求，结合的范围可求的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．
【详解】
解：（1）∵，结合余弦定理，可得：
，∴，∴
又∵，∴
（2）因为，，所以，所以，
所以
∵是锐角三角形，所以，解得
∴,
∴
∴,
∴
综上，的取值范围是
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
19．（1）；（2）是定值，且定值为．
【分析】
（1）通过、、、和必过点的相关关系及中点弦公式求出、、写出方程；寻找主直线(没有)设点利用等量关系消元求出定值．
（2）设，，，由，可得： ，化简得，进而可求解
【详解】
（1）椭圆：()的一个焦点坐标为，
则，即有①，
设、，则，，
两式相减：，
∴，，则②，
由①②解得，，，则椭圆的方程为；
（2）设，，，
则，，，
由，可得：，∴，
∴
，
∴，∴，即，
∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，利用，通过设，，，联立方程，得到，进而可求得定值，属于基础题
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由题意可知，再利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）以为原点，以及过平行的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，则即可求解.
【详解】
（1）在中，、分别为、的中点，
，又因为平面，平面，
所以平面，
（2）过作的平行线交于点，
以为建立空间直角坐标系，如图：
由侧面为等边三角形，，，
则，
，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，
所以，
设与平面所成角为，
则.
【点睛】
思路点睛：
解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（Ⅱ）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出.
【详解】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（Ⅱ）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得：①
②
①﹣②得：，
可得.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量坐标法计算异面直线与所成的角；（2）分别求平面和平面的法向量，利用公式求解.
【详解】
如图，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
（1），，，，
，，
，
异面直线与所成的角是；
（2）显然平面平面的法向量是，
，，，
则，，
设平面平面的法向量，
则，即，令，则，
所以,
，
设二面角的大小为，则.