(共67张PPT)
第五章 §5.1 数列基础
5.1.2 数列中的递推
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
3.了解数列的函数特性.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称递推公式或递归公式).
知识点一 数列的递推公式
答案 不一定，例如
精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值构成的数列：1，1.4，1.41，1.414，…，没有递推公式.
思考 所有数列都有递推公式吗？
知识点二 数列的递推公式与通项公式的关系
?
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项
(或前几项)之间的关系
表示an与
之间的关系
联系
(1)都是表示
的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
an－1
数列
n
思考 仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列吗？
答案 不能.数列是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.
知识点三 数列的前n项和
1.一般地，给定数列{an}，称Sn＝
为数列{an}的前n项和.
2.一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有Sn－1＝_________
___________，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an.所以Sn＝
，
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3
Sn－1＋an
＋…＋an－1
因此an＝
.
1.根据通项公式可以求出数列的任意一项.( )
2.有些数列可能不存在最大项.( )
3.递推公式是表示数列的一种方法.( )
4.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、由递推公式求数列的指定项
写出这个数列的前5项.
反思感悟
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区.
√
√
而2
020＝673×3＋1，
故a2
020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
√
解析 方法一 (归纳法)：数列的前5项分别为
又a1＝1，
a1＝1，
…
反思感悟
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
注意：已知数列的递推公式求其通项公式的问题未必总可以使用累加法或累乘法求解，只有递推公式表示的是数列相邻两项的差或商时才可以使用.不排除由其他类型的递推公式求通项公式.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln
an－ln
an－1＝1，
＝
·1＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N＋.
例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
解 因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N＋.
延伸探究
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解 因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时，a1＝－27不符合上式.
反思感悟
由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
跟踪训练3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
解 当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]
＝4n＋1，
又a1＝7不符合上式，
(2)Sn＝3n－1.
解 当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，
显然a1＝2符合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N＋).
3
随堂演练
PART
THREE
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于
A.36
B.35
C.34
D.33
√
解析 ∵a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2
020的值为
1
2
3
4
5
√
解析 因为an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
所以a2
020＝a336×6＋4＝a4＝1.
1
2
3
4
5
4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，则an＝_____________.
1
2
3
4
5
2n，n∈N＋
解析 ∵Sn＝n2＋n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
验证当n＝1时上式成立.
∴an＝2n，n∈N＋.
1
2
3
4
5
5.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N＋，n≥2).又a10＝55，则a12＝________.
n
78
解析 由已知得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，
所以递推公式可以写成an＝an－1＋n(n∈N＋，n≥2).
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
1.知识清单：
(1)数列的递推公式.
(2)数列的前n项和.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：累乘法、累加法中不注意验证首项是否符合通项公式.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，且a1＝0，则此数列的第5项是
A.15
B.255
C.16
D.63
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.(多选)数列2，4，6，8，10，…的递推公式是
A.an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
B.an＝2an－1(n≥2，n∈N＋)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
D.a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推.
√
√
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项公式an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
√
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N＋).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则数列{an}的通项公式为
A.an＝2n
B.an＝2n
C.an＝
D.an＝
√
解析 Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.
又a1＝3不符合上式，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N＋，则an＝________.
－2n＋1
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，S1＝a1＝－1也符合上式.
∴an＝－2n＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝______.
解析 a1a2…a8＝82，
①
a1a2…a9＝92，
②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N＋)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
解 因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，
所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项.
解 b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
以上各式累加得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，
又2
020＝3×673＋1，
所以a2
020＝a1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
又(2n－3)an＝4Sn－1－1(n≥2).
②
①－②得(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝
Sn(n∈N＋)，则Sn等于
A.2n－1＋1
B.n·2n
C.3n－1
D.2n·3n－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 方法一 (累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二 (迭代法)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法三 (构造特殊数列法)
15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝____.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故m所有可能的取值为4，5，32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
本课结束
