(共64张PPT)
第五章 5.2.1 等差数列
第2课时 等差数列的性质
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质简化计算.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝
.
思考 在下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)0，0；(4)a，b.
知识点一 等差中项的概念
1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
知识点二 等差数列的性质
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为
的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为
的等差数列(p，q为常数)
2d
pd＋qd′
2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
3.下标性质：如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
4.在等差数列中每隔相同的项数选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
5.等差数列{an}的公差为d，则d>0?{an}为
数列；
d<0?{an}为
数列；d＝0?{an}为常数列.
思考 若{an}为等差数列，且s＋t＝p(s，t，p∈N＋)，则as＋at＝ap一定成立吗？
递增
递减
答案 不一定.如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
1.在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于
A.5
B.8
C.10
D.14
解析 a1＋a7＝a3＋a5＝10.
√
2.在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于
A.2
B.20
C.100
D.不确定
解析 ∵a100－a90＝10d，
∴10d＝20，即d＝2.
√
解析 ∵b是x，2x的等差中项，
√
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
4.已知
＋1与
－1的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝a2n＋1(n∈N＋)，公差为d，则a＋d＝________.
2
题型探究
PART
TWO
一、等差中项及应用
例1 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解 因为－1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
又a是－1与3的等差中项，
又c是3与7的等差中项，
所以该数列为－1，1，3，5，7.
反思感悟
跟踪训练1 (1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列.
证明 因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)
＝0，
所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a).
故a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列.
二、等差数列性质的应用
例2 (1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于
A.7
B.14
C.21
D.28
√
解析 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为
A.0
B.37
C.100
D.－37
√
解析 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}也是等差数列.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，
所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
反思感悟
等差数列应用的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
(3)等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(p，q为常数)也是等差数列.
注意：对于新构造的数列，要注意判断其首项和公差.
跟踪训练2 (1)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是
√
解析 由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列.
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_____.
35
解析 方法一 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，
所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
例3 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
三、等差数列的实际应用
解 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
反思感悟
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
跟踪训练3 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元.
23.2
解析 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
3
随堂演练
PART
THREE
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于
A.3
B.－6
C.4
D.－3
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
√
解析 由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
3.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为
A.20
B.30
C.40
D.50
1
2
3
4
5
√
解析 ∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
1
2
3
4
5
4.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
√
解析 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
1
2
3
4
5
5.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15＝______，若
ak＝15，则k＝______.
11
21
1
2
3
4
5
解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝15，
1.知识清单：
(1)等差中项.
(2)等差数列的性质.
2.方法归纳：解方程组法、构造法.
3.常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错.
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为
A.12
B.8
C.6
D.4
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
√
2.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为
A.7
B.5
C.3
D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
√
解析 由于{an}，{bn}为等差数列，
故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)
＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为
A.26
B.29
C.39
D.52
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
√
4.(多选)若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是
A.{|an|}
B.{an＋1－an}
C.{pan＋q}(p，q为常数)
D.{2an＋n}
√
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4
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11
12
13
14
15
16
√
√
解析 数列－1，1，3是等差数列，
取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立.
若{an}是等差数列，由等差数列的定义，
知{an＋1－an}为常数列，
故{an＋1－an}是等差数列，B成立.
若{an}的公差为d，
则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，
故{pan＋q}是等差数列，C成立.
(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，
故{2an＋n}是等差数列，D成立.
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5.已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0
A.无实根
B.有两个相等的实根
C.有两个不等的实根
D.不能确定有无实根
√
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解析 因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，
所以a5＝3，
则方程为x2＋6x＋10＝0，
因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根.
6.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
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解析 由5是a3和a6的等差中项，
可得a3＋a6＝2×5＝10，
则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.
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7.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为________.
98
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
∴这三个数为－1，4，9或9，4，－1.
∴它们的平方和为98.
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8.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_________________.
a＝－b或a＝3b
∴(a－3b)(a＋b)＝0，∴a＝3b或a＝－b.
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9.在等差数列{an}中.
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
解 方法一 直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48，
∴4a13＝48，∴a13＝12.
方法二 根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
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16
解 方法一 直接化成a1和d的方程如下：
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16
∴d＝3或－3.
方法二 由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，
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10.已知四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数.
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
又四个数成递减等差数列，∴d<0，
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11.(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有
A.a1＋a101>0
B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0
D.a51＝0
综合运用
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2
3
4
5
6
7
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15
16
√
解析 根据等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
√
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12.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－
a11的值为
A.14
B.15
C.16
D.17
√
解析 设公差为d，
∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，
13.(多选)下列命题中，正确的是
A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
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√
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解析 A项中，∵a，b，c为等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.
C项中，∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.
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解析 设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
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拓广探究
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解析 设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4.
则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0，1－4n＞0).
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2，
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15
16
16.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bk}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由题意，知an＝3n＋2(n∈N＋)，bk＝4k－1(k∈N＋)，
两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
而n∈N＋，k∈N＋，
所以设k＝3r(r∈N＋)，得n＝4r－1.
所以共有25个相同数值的项.
本课结束(共62张PPT)
第五章 5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差数列的判断与证明方法.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
一般地，如果数列{an}从第
项起，每一项与它的前一项之差都等于
，即
恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的
.
知识点一 等差数列的定义
2
同一个常数d
公差
an＋1－an＝d
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝
.
思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
知识点二 等差数列的通项公式
a1＋(n－1)d
答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可.
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
知识点三 从函数角度认识等差数列{an}
则an＝f(n)＝
.
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为
，在y轴上的截距为
；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加
.
a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)
a1－d
d
d
1.an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋).
2.an＝am＋
(m，n∈N＋).
3.d＝
(m，n∈N＋，且m≠n).
其中，1的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上.
2可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
3即斜率公式k＝
，可用来求公差(在已知等差数列任两项的情况下).
知识点四 等差数列通项公式的变形及推广
(n－m)d
1.数列4，4，4，…是等差数列.( )
2.数列{an}的通项公式为
则{an}是等差数列.( )
3.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、等差数列的通项公式及其应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N＋.
反思感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d).
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
10
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________.
(3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝______.
58
解析 由已知条件得
d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝4n－2.
∴a15＝4×15－2＝58.
二、等差数列的判定与证明
(2)求an.
延伸探究
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
反思感悟
判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)?数列{an}是等差数列.
(2)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)?数列{an}为等差数列.
注意：(1)通项公式法不能作为证明.
(2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
(3)当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝
.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
例3 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
三、an＝am＋(n－m)d的应用
解 设数列
{an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
反思感悟
灵活利用等差数列通项公式的变形及推广，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
跟踪训练3 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝______.
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
8
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
1
2
3
4
5
√
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
1
2
3
4
5
2.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于
√
3.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
1
2
3
4
5
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.
33
1
2
3
4
5
4.在等差数列{an}中，如果a4＝3，a7＝9，an＝17.那么n＝________.
∴an＝a4＋(n－4)d，
∴17＝3＋2(n－4)，
∴n＝11.
11
1
2
3
4
5
5.在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝______.
－3
解析 设数列{an}的公差为d，
解得d＝3，a1＝－3.
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列的判定与证明.
(4)等差数列通项公式的变形及应用.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.
3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于
A.n
B.2n
C.2n－1
D.n＋2
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵a4－a2＝2d＝6－4＝2，
∴d＝1，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×1＝n＋2.
√
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于
A.10
B.18
C.20
D.28
1
2
3
4
5
6
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10
11
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16
√
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.
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2
3
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16
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
√
√
√
解析 设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝5，am＝3，
1
2
3
4
5
6
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16
4.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于
√
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
6.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则数列{an}_______
(填“是”或“不是”)等差数列.
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2
3
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12
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16
是
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
13
14
15
16
7.已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，则{an}的通项公式为______________.
an＝2n－12
解析 设数列{an}的公差为d，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
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2
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16
8.《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则每节容量各
为多少？在这个问题中，中间一节的容量为________升.
1
2
3
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16
解析 设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，
1
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9.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
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(2)问112是数列{an}的第几项？
解 an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，
解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
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16
(3)在80到110之间有多少项？
所以n的取值为29，30，…，38，共10项.
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(2)求数列{an}的通项公式.
11.(多选)首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值可以是
综合运用
1
2
3
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√
√
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16
12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则
A.a3a6>a4a5
B.a3a6
C.a3＋a6>a4＋a5
D.a3a6＝a4a5
√
解析 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，
那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a
＋7a1d＋10d2，
同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a
＋7a1d＋12d2，
显然a3＋a6＝a4＋a5，a3a6－a4a5＝－2d2<0，a3a6＜a4a5.
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所以an＝n2(n∈N＋).
n2(n∈N＋)
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15.若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则数列{an}的通项公式为
__________________.
拓广探究
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解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3，
①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，
②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，
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证明 因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，
①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，
②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列.
16.若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是
公差为d的准等差数列.例如cn＝
则数列{cn}是公差为8
的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
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(2)求数列{an}的通项公式.
解 因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，
所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，
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16
本课结束§5.2 等差数列
5．2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法．
知识点一 等差数列的定义
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
知识点二 等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
知识点三 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d_；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d.
知识点四 等差数列通项公式的变形及推广
1．an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)．
2．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．
3．d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．
其中，1的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
2可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
3即斜率公式k＝，可用来求公差(在已知等差数列任两项的情况下)．
1．数列4，4，4，…是等差数列．( √ )
2．数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．( × )
3．若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( × )
一、等差数列的通项公式及其应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
解 (1)由题意知
解得
(2)由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N＋.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________.
(3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝________.
答案 (1)10 (2)－ (3)58
解析 (1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)由题意得
解得
(3)由已知条件得
d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝4n－2.
∴a15＝4×15－2＝58.
二、等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
解 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即数列是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝，n∈N＋.
延伸探究
将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N＋.
反思感悟 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)?数列{an}是等差数列．
(2)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)?数列{an}为等差数列．
注意：(1)通项公式法不能作为证明．
(2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可．
(3)当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，b1＝＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
三、an＝am＋(n－m)d的应用
例3 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解 设数列
{an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×
＝24.
反思感悟 灵活利用等差数列通项公式的变形及推广，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练3 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
答案 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
2．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于( )
A.
B．－
C．1
D．－1
答案 C
解析 ∵a3＝5，a6＝8，∴d＝＝1.
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
答案 33
解析 由题意得d＝＝＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.
4．在等差数列{an}中，如果a4＝3，a7＝9，an＝17.那么n＝________.
答案 11
解析 由题意知d＝＝2，∴an＝a4＋(n－4)d，
∴17＝3＋2(n－4)，
∴n＝11.
5．在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝______.
答案 －3
解析 设数列{an}的公差为d，
则
解得d＝3，a1＝－3.
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列的判定与证明．
(4)等差数列通项公式的变形及应用．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不明确．
1．设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于( )
A．n
B．2n
C．2n－1
D．n＋2
答案 D
解析 ∵a4－a2＝2d＝6－4＝2，∴d＝1，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×1＝n＋2.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10
B．18
C．20
D．28
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.
3．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d等于( )
A．0
B.
C．1
D．2
答案 AB
解析 根据题意知，a4＋a8＝a?a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
解得d＝或d＝0.
4．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13
B．3－
C．3－
D．5－
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.
5．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a10为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴数列是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3
＝3n－＝，
∴an＝，
∴a10＝.
6．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则数列{an}________(填“是”或“不是”)等差数列．
答案 是
解析 ∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－an＝(n∈N＋)，
∴数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列．
7．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，则{an}的通项公式为________．
答案 an＝2n－12
解析 设数列{an}的公差为d，
由已知得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
8．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为________升．
答案
解析 设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，
由题意知
则解得
故a5＝a1＋4d＝.
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解 设数列{an}的公差为d，则
解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，
解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，
解得28所以n的取值为29，30，…，38，共10项．
10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3，n∈N＋.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由＝＝
＝＝＝＋，
得－＝，n∈N＋，且＝1，
故数列是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知＝1＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N＋.
11．(多选)首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值可以是( )
A.
B.
C．3
D.
答案 BC
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得12．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5
B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5
D．a3a6＝a4a5
答案 B
解析 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3＋a6＝a4＋a5，a3a6－a4a5＝－2d2<0，a3a6＜a4a5.
13．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
答案 n2(n∈N＋)
解析 由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故通项公式为＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2(n∈N＋)．
14．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案 ，n∈N＋
解析 ∵a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝，n∈N＋.
15．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则数列{an}的通项公式为__________________．
答案 an＝2n－(n∈N＋)
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3，①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，
∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N＋)．
16．若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
(2)解 因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，
所以a1＋a2＝2×1，
即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1.
所以an＝