5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.
1．若数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋2，则{an}是等差数列．( × )
2．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．( √ )
3．若数列{an}的前n项和为Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．( √ )
一、等差数列前n项和的有关计算
例1 在等差数列{an}中．
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解 (1)
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
反思感悟 等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1 在等差数列{an}中．
(1)若a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)若a3＋a15＝40，求S17.
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，
所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
解得d＝－，
所以n＝15，d＝－.
二、利用Sn判断等差数列
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列．
解 Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.又a1＝5适合an＝4n＋1，
∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋)．
当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4，
故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列．
延伸探究
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝6－4＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列．
反思感悟 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列．
②若a1不适合an，则an＝
则{an}不是等差数列．
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋n，则a8等于( )
A．72
B．36
C．18
D．16
答案 D
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)，
得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列．
解 当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.
又当n＝1时，a1＝2不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为
an＝
当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，
但a2－a1＝－3－2＝－5，
所以数列{an}不是等差数列．
三、等差数列前n项和的比值问题
例3 有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求.
解 方法一 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则＝
＝，
则有＝，①
又由于＝，②
观察①，②，可在①中取n＝9，得＝＝.
故＝.
方法二 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
则有＝，其中An＝，
由于a1＋a9＝2a5.
即＝a5，故A9＝＝a5×9.
同理B9＝b5×9.故＝.
故＝＝＝.
方法三 因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn
＝an，
根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0)．
所以a5＝A5－A4
＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
所以＝＝.
方法四 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝.
反思感悟 (1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an＝，
所以an∶bn＝S2n－1∶T2n－1.
(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征．而等差数列的性质则是这一特征的具体反映．利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果．
跟踪训练3 已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则等于( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 A
解析 由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11＝＝11a6，
同理可得T11＝11b6，因此，＝＝＝＝，故选A.
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋
B．－n2－
C.n2＋
D.n2－
答案 A
解析 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
∴Sn＝＝－n2＋.
2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18
B．27
C．36
D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为( )
A．1
B.
C．2
D．3
答案 C
解析 因为S3＝＝6，
而a3＝4，
所以a1＝0，
所以d＝＝2.
4．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝________.
答案 190
解析 S19＝＝＝190.
5．已知在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________，a12＝________.
答案 12 －4
解析 由Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
1．知识清单：
(1)等差数列的前n项和及其计算公式．
(2)由Sn判断等差数列．
2．方法归纳：方程和函数思想、倒序相加法、整体思想．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )
A．49
B．42
C．35
D．28
答案 B
解析 ∵a4＋a8＝2a6，∴2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.
2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于( )
A．10
B．15
C．20
D．30
答案 C
解析 因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，
所以n2＋9n＝580，
解得n＝20或n＝－29(舍)．
3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于( )
A．18
B．20
C．22
D．24
答案 B
解析 由S10＝S11，
得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
4．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．－1
B．3
C．5
D．7
答案 AB
解析 由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋×2＝35，②
由①②解得或
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和为S5＝10，则其首项a1＝________，公差d＝________.
答案 1
解析 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.
答案 5
解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8．等差数列{an}的公差为d，且S10＝4S5，则＝______.
答案
解析 由题意得10a1＋×10×9d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，所以＝.
9．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得242＝12n＋×2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.
11．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.
12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝________.
答案 －
解析 当n＝1时，S1＝a1＝－1，
所以＝－1.
因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，Sn≠0，
所以－＝1，
即－＝－1，
所以数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以Sn＝－.
13．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝________.
答案
解析 ∵{an}，{bn}均为等差数列，
∴＝＝＝＝.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N＋)，则an＝________，
a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝________.
答案 3n－2
解析 由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
an
＝1＋3(n－1)＝3n－2.
因此，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝10＋19＋28＋…＋[3×(3n＋4)－2]
＝＝.
15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.
16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解 (1)∵S4＝28，
∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2
∴a2＝5，a3＝9，
∴解得
∴an＝4n－3，n∈N＋.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)．(共62张PPT)
第五章 5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列的前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中
三个求另外两个.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝__________
Sn＝_____________
知识点 等差数列的前n项和公式
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
1.若数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋2，则{an}是等差数列.( )
2.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.( )
3.若数列{an}的前n项和为Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、等差数列前n项和的有关计算
例1 在等差数列{an}中.
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
反思感悟
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，
则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝
结合使用.
跟踪训练1 在等差数列{an}中.
(1)若a1＝1，a4＝7，求S9；
解 设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，
所以d＝2.
(2)若a3＋a15＝40，求S17.
二、利用Sn判断等差数列
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列.
解 Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.
又a1＝5适合an＝4n＋1，
∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋).
当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4，
故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列.
延伸探究
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝6－4＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列.
反思感悟
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错.
(2)在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形.
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列.
②若a1不适合an，则an＝
则{an}不是等差数列.
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋n，则a8等于
A.72
B.36
C.18
D.16
√
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)，
得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列.
解 当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.
又当n＝1时，a1＝2不满足上式，
当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，
但a2－a1＝－3－2＝－5，
所以数列{an}不是等差数列.
三、等差数列前n项和的比值问题
解 方法一 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
方法二 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
由于a1＋a9＝2a5.
方法三 因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn
根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0).
所以a5＝A5－A4
＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
方法四 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
反思感悟
(1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an＝
，所以an∶bn＝S2n－1∶T2n－1.
(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.而等差数列的性质则是这一特征的具体反映.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果.
√
3
随堂演练
PART
THREE
解析 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于
A.18
B.27
C.36
D.45
√
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为
1
2
3
4
5
√
而a3＝4，
所以a1＝0，
1
2
3
4
5
4.在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝________.
190
1
2
3
4
5
12
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
－4
1.知识清单：
(1)等差数列的前n项和及其计算公式.
(2)由Sn判断等差数列.
2.方法归纳：方程和函数思想、倒序相加法、整体思想.
3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于
A.49
B.42
C.35
D.28
基础巩固
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16
√
解析 ∵a4＋a8＝2a6，
2.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于
A.10
B.15
C.20
D.30
1
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11
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√
所以n2＋9n＝580，
解得n＝20或n＝－29(舍).
解析 由S10＝S11，
得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于
A.18
B.20
C.22
D.24
1
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16
√
4.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于
A.－1
B.3
C.5
D.7
√
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√
解析 由题意知a1＋(n－1)×2＝11，
①
5.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A.765
B.665
C.763
D.663
√
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解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
6.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和为S5＝10，则其首项a1＝____，公差d＝______.
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1
解析 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，
①
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7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____.
5
解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，
所以k＝5.
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
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9.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)若Sn＝242，求n.
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即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
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解 设等差数列{an}的公差为d，
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∵S7＝7，S15＝75，
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11.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为
A.7
B.8
C.9
D.10
综合运用
√
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.
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12.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝______.
因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，Sn≠0，
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解析 ∵{an}，{bn}均为等差数列，
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14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N＋)，则an＝________，
a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝________________.
3n－2
解析 由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
an
＝1＋3(n－1)＝3n－2.
因此，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝10＋19＋28＋…＋[3×(3n＋4)－2]
拓广探究
1
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14
15
16
15.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于
√
解析 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
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16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
解 ∵S4＝28，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴an＝4n－3，n∈N＋.
解 由(1)，知Sn＝2n2－n，
又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，
1
2
3
4
5
6
7
8
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14
15
16
本课结束(共79张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的应用
第五章 5.2.2 等差数列的前n项和
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.会用等差数列前n项和公式解决实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列
也是等差数列，且公差为
.
2.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为
.
3.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝
，
＝
.
m2d
nd
知识点一 等差数列前n项和的性质
思考 在性质3中，an和an＋1分别是哪两项？在性质4中，an＋1是哪一项？
答案 中间两项，中间项.
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
二次
2.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有
值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________
确定；
当a1<0，d>0时，Sn有
值，使Sn取到最值的n可由不等式组_________
确定.
最大
最小
最小
最大
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
1.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a7＋a8等于
A.7
B.8
C.9
D.10
解析 ∵a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，
由等差数列前n项和的性质得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8.
√
2.已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为
解析 设等差数列{an}的公差为d，由a4＝a2＋(4－2)d，得－2＝0＋2d，
故d＝－1，a1＝1，
√
所以当n＝1或2时，Sn的最大值为1.
3.(多选)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为
A.22
B.23
C.24
D.25
解析 由an≤0即2n－48≤0得n≤24.
∴所有非正项的和最小，即n＝23或24.
√
√
4.在等差数列{an}中，a3＋a9＝4，则其前11项和S11＝_____.
22
2
020
2
题型探究
PART
TWO
一、等差数列前n项和的性质
2
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
反思感悟
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练1 已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________.
－4
解析 设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，
①
∵S奇＝50，S偶＝34，
∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，
②
由①②得d＝－4.
(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.
解 方法一 (性质法)S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列.
∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)
＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
方法二 (整体代换法)∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100
∴a1＋a110＝－2.
二、等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
解 方法一 设等差数列{an}的公差为d，
因为S8＝S18，a1＝25，
解得d＝－2.
所以当n＝13时，Sn的最大值为169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N＋，
所以当n＝13时，Sn的最大值为169.
方法三 因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，
所以d<0.所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得
a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以Sn的最大值为169.
反思感悟
(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
解得a1＝－9，d＝3，
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值.
解 因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，
Sn取得最小值S3＝S4＝－18.
例3 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋).
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
三、求数列{|an|}的前n项和
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.
∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，
∴an＝101－2n(n∈N＋).
又an＋1－an＝－2，
∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和.
解 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴数列{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2
500－(100n－n2)＝5
000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
反思感悟
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
∴当n≤17，n∈N＋时，an>0；
当n≥18，n∈N＋时，an<0，
∴数列{an}的前17项和最大.
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
解 当n≤17，n∈N＋时，
当n≥18，n∈N＋时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
核心素养之数学建模
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
JIAN
MO
等差数列前n项和公式的实际应用
典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1
150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 因购房时付150万元，则欠款1
000万元，依题意分20次付款，
则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1
000－50×3)×1%＝58.5，
所以an＝50＋[1
000－50(n－1)]×1%
所以实际共付1
105＋150＝1
255(万元).
素养提升
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观.
3
随堂演练
PART
THREE
解析 由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，
∴d＝0.5，
1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是
A.0.5，0.5
B.0.5，1
C.0.5，2
D.1，0.5
1
2
3
4
5
√
得a1＝0.5.
1
2
3
4
5
2.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
√
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N＋)，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大.
3.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是
A.d<0
B.a7＝0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
1
2
3
4
5
√
解析 ∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S9√
√
1
2
3
4
5
4.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝_____.
解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，
∴S9－S6＝5.
5
1
2
3
4
5
5.已知等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________.
99
解析 由题意，得S奇＋S偶＝148，
S偶－S奇＝50d＝50，
解得S偶＝99.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的一般性质.
(2)等差数列前n项和的函数性质.
2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想.
3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.在等差数列{an}中a1＝1，其前n项和为Sn，若
＝2，则S10等于
A.10
B.100
C.110
D.120
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴S10＝100.
2.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn
A.有最大值且是整数
B.有最小值且是整数
C.有最大值且是分数
D.无最大值和最小值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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√
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解析 易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增等差数列.
∴a1解析 因为等差数列的公差d≠0，∴前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及S2
011＝S2
018，Sk＝S2
009，
3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
018，Sk＝S2
009，则正整数k为
A.2
017
B.2
018
C.2
019
D.2
020
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√
解得k＝2
020.
4.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A.6
B.7
C.8
D.9
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√
解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
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因为k∈N＋，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列判断正确的是
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
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√
解析 ∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，
∴a6＋a7>0，
∴a6>0，∴d<0，A正确；
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数列{Sn}中最大项为S6，D不正确.
故正确的选项是AB.
6.已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝________.
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故S偶＝192，S奇＝162，
所以6d＝S偶－S奇＝30，故d＝5.
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7.已知等差数列{an}，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
6或7
解析 ∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴a5＝－a9，即a5＋a9＝0.
由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.
故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正数.
∴Sn取得最小值时，n为6或7.
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8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为_____.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
6
取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
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9.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
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解 方法一 a1＝9，d＝－2，
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∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，
∴当n≤5，n∈N＋时，an>0；当n≥6，n∈N＋时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
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10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0
，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 ∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N＋.
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(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2；
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解 设数列{an}的前n项和为Sn，
当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40.
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11.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于
A.15
B.35
C.66
D.100
综合运用
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√
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0，则2n－5>0，
∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
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12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，
＝－8，则Sn取最大值时n的值为
A.6
B.7
C.8
D.9
√
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解析 设数列{an}是公差为d的等差数列，
则a1＝a2－d＝13，
则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故当n＝7时，Sn取得最大值.
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解析 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
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解析 设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得，
S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.
所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.
拓广探究
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15.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______.
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解析 设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N＋)，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
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解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，又S奇－S偶＝an＋1，
即a4＝44－33＝11为所求的中间项.
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证明 因为6Sn＝(an＋1)(an＋2)，
所以当n≥2时，6Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)，
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，a1<2，6Sn＝(an＋1)(an＋2).
(1)求证：{an}是等差数列；
整理得(an－an－1)(an＋an－1)＝3(an＋an－1)，
又因为an>0，所以an－an－1＝3，
所以数列{an}是公差为3的等差数列.
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证明 当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，
因为a1<2，所以a1＝1，
由(1)可知an－an－1＝3，即公差d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，
本课结束