选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 基础测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析
文档属性
| 名称 | 选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 基础测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 09:51:19 | ||
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文档简介
人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程基础测试题
一、单选题
1．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A． B． C．1 D．2
5．方程表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．且m≠0
C．且m≠0 D．且m≠0
6．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
8．若以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
10．下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（ ）
A．（2，-2） B．（4，-3） C．（3，10） D．（-2，5）
11．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A．2 B． C． D．4
12．点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为________.
14．设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
15．已知，为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则_______.
16．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.
三、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
19．已知椭圆E的方程为右焦点为,直线的倾斜角为直线与圆相切于点Q,且点Q在轴右侧,设直线交椭圆E于两个不同点A、B.
(1)求直线的方程；
(2)求△ABF的面积.
20．如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.
（1）求点的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
21．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
22．如图，已知直线与椭圆交于两点.过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.
（1）求直线与的斜率之积；
（2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直.
参考答案
1．C
【分析】
设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】
由a2＝5，b2＝1，能求出椭圆的焦点坐标．
【详解】
由a2＝5，b2＝1，∴c2，
∴椭圆的焦点坐标是（2，0），（﹣2，0）．
故选：B．
3．C
【分析】
由抛物线的知识直接可得答案.
【详解】
抛物线的准线方程是
故选：C
4．B
【分析】
由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
5．C
【分析】
由椭圆的性质列出不等式组求解即可.
【详解】
由已知方程表示焦点在y轴上的椭圆可得，
解得且m≠0
故选：C
6．C
【分析】
根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆，确定得出方程.
【详解】
由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上
，即
故选：C
7．C
【解析】
因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．
8．B
【解析】
试题分析：由题意，知，所以，即，解得．又，所以，故选B．
考点：1、向量垂直的充要条件；2、双曲线的几何性质．
9．D
【解析】
试题分析：首先将方程化为标准方程．当时，；当时，．
所以抛物线的准线方程是 ．故选D．
考点：求抛物线的准线方程．
10．C
【解析】
试题分析：若点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程．因此将点的坐标代入验证知，答案选C．
考点：点与曲线的关系．
11．D
【解析】
试题分析：焦点到渐近线的距离为 ，焦距为
考点：双曲线方程及性质
12．A
【解析】
试题分析：根据题意设双曲线的左焦点为，则在中，点（为 坐标原点）分别为的中点，所以，即在双曲线的左支上存在点使，同时即：解得：即且，所以，故答案为A.
考点：1.三角形的中位线；2.双曲线的离心率.
13．
【分析】
根据椭圆的标准方程及几何性质，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆的一个焦点为，可得，
又由，可得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．9
【分析】
由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．
【详解】
解：设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
15．6
【分析】
利用椭圆的定义直接求解即可
【详解】
解：设椭圆的长半轴长为.由椭圆定义知，故.
故答案为：6
16．
【分析】
根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果.
【详解】
由题意得，解可得或；
解可得或；
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
19．(1) ;(2) .
【分析】
(1)已知直线的倾斜角为可以设出直线的斜截式方程,由直线与圆相切于点Q,可以通过圆心到直线的距离等于半径,这样可以解出直线的斜截式方程中的参数,这样就求出了直线的方程；
(2)设出点A、B的坐标,直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式求出,再求出到直线的距离,最后求出△ABF的面积.
【详解】
(1)因为直线的倾斜角为所以直线的斜率为1,设直线的方程为：,
由点到直线距离公式可得：.又因为点Q在轴右侧,所以,所以直线的方程为：.
(2) 设
由,可得：,
右焦点的坐标为,所以点到直线的距离为：,
所以△ABF的面积为
【点睛】
本题考查了圆的切线性质,考查了椭圆弦长公式,考查了数学运算能力.
20．(1) ；(2) 最大值30
【分析】
（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
【详解】
解：(1) 解方程组得或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由,
直线的垂直平分线方程
令, 得, ∴
(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设
∵点P到直线OQ的距离d==,,
∴=.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.
∵函数在区间上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．
21．（1）；（2）0，，.
【分析】
（1）联立直线方程和双曲线方程，利用判别式可求的取值范围.
（2）利用弦长公式和面积公式可求得面积，根据已知的面积可得关于的方程，解方程后可得其值.
【详解】
（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，解得，
故或，检验符合.
故实数k的值为0，，.
【点睛】
易错点睛：直线与双曲线的位置中，当我们联立直线方程和双曲线方程并消元后，注意考虑二次项系数是否为零.
22．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）设，可得，分别表示出，即可得到的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得，代入中，可求出答案；
（2）易知，结合PQ⊥PA，即，可得，进而求出直线的方程，令，可得得，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为，从而可知直线PB与x轴垂直.
【详解】
（1）设，则，
则，，
因为P，A都在椭圆上，所以.
所以.
（2）因为，又PQ⊥PA，即，
所以，所以直线：，令，得，
因为P在直线y=kx上，所以，代入得到B点的横坐标为，
所以直线PB与x轴垂直.
一、单选题
1．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A． B． C．1 D．2
5．方程表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．且m≠0
C．且m≠0 D．且m≠0
6．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
8．若以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
10．下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（ ）
A．（2，-2） B．（4，-3） C．（3，10） D．（-2，5）
11．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A．2 B． C． D．4
12．点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为________.
14．设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
15．已知，为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则_______.
16．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.
三、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
19．已知椭圆E的方程为右焦点为,直线的倾斜角为直线与圆相切于点Q,且点Q在轴右侧,设直线交椭圆E于两个不同点A、B.
(1)求直线的方程；
(2)求△ABF的面积.
20．如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.
（1）求点的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
21．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
22．如图，已知直线与椭圆交于两点.过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.
（1）求直线与的斜率之积；
（2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直.
参考答案
1．C
【分析】
设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】
由a2＝5，b2＝1，能求出椭圆的焦点坐标．
【详解】
由a2＝5，b2＝1，∴c2，
∴椭圆的焦点坐标是（2，0），（﹣2，0）．
故选：B．
3．C
【分析】
由抛物线的知识直接可得答案.
【详解】
抛物线的准线方程是
故选：C
4．B
【分析】
由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
5．C
【分析】
由椭圆的性质列出不等式组求解即可.
【详解】
由已知方程表示焦点在y轴上的椭圆可得，
解得且m≠0
故选：C
6．C
【分析】
根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆，确定得出方程.
【详解】
由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上
，即
故选：C
7．C
【解析】
因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．
8．B
【解析】
试题分析：由题意，知，所以，即，解得．又，所以，故选B．
考点：1、向量垂直的充要条件；2、双曲线的几何性质．
9．D
【解析】
试题分析：首先将方程化为标准方程．当时，；当时，．
所以抛物线的准线方程是 ．故选D．
考点：求抛物线的准线方程．
10．C
【解析】
试题分析：若点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程．因此将点的坐标代入验证知，答案选C．
考点：点与曲线的关系．
11．D
【解析】
试题分析：焦点到渐近线的距离为 ，焦距为
考点：双曲线方程及性质
12．A
【解析】
试题分析：根据题意设双曲线的左焦点为，则在中，点（为 坐标原点）分别为的中点，所以，即在双曲线的左支上存在点使，同时即：解得：即且，所以，故答案为A.
考点：1.三角形的中位线；2.双曲线的离心率.
13．
【分析】
根据椭圆的标准方程及几何性质，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆的一个焦点为，可得，
又由，可得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．9
【分析】
由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．
【详解】
解：设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
15．6
【分析】
利用椭圆的定义直接求解即可
【详解】
解：设椭圆的长半轴长为.由椭圆定义知，故.
故答案为：6
16．
【分析】
根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果.
【详解】
由题意得，解可得或；
解可得或；
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
19．(1) ;(2) .
【分析】
(1)已知直线的倾斜角为可以设出直线的斜截式方程,由直线与圆相切于点Q,可以通过圆心到直线的距离等于半径,这样可以解出直线的斜截式方程中的参数,这样就求出了直线的方程；
(2)设出点A、B的坐标,直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式求出,再求出到直线的距离,最后求出△ABF的面积.
【详解】
(1)因为直线的倾斜角为所以直线的斜率为1,设直线的方程为：,
由点到直线距离公式可得：.又因为点Q在轴右侧,所以,所以直线的方程为：.
(2) 设
由,可得：,
右焦点的坐标为,所以点到直线的距离为：,
所以△ABF的面积为
【点睛】
本题考查了圆的切线性质,考查了椭圆弦长公式,考查了数学运算能力.
20．(1) ；(2) 最大值30
【分析】
（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
【详解】
解：(1) 解方程组得或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由,
直线的垂直平分线方程
令, 得, ∴
(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设
∵点P到直线OQ的距离d==,,
∴=.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.
∵函数在区间上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．
21．（1）；（2）0，，.
【分析】
（1）联立直线方程和双曲线方程，利用判别式可求的取值范围.
（2）利用弦长公式和面积公式可求得面积，根据已知的面积可得关于的方程，解方程后可得其值.
【详解】
（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，解得，
故或，检验符合.
故实数k的值为0，，.
【点睛】
易错点睛：直线与双曲线的位置中，当我们联立直线方程和双曲线方程并消元后，注意考虑二次项系数是否为零.
22．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）设，可得，分别表示出，即可得到的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得，代入中，可求出答案；
（2）易知，结合PQ⊥PA，即，可得，进而求出直线的方程，令，可得得，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为，从而可知直线PB与x轴垂直.
【详解】
（1）设，则，
则，，
因为P，A都在椭圆上，所以.
所以.
（2）因为，又PQ⊥PA，即，
所以，所以直线：，令，得，
因为P在直线y=kx上，所以，代入得到B点的横坐标为，
所以直线PB与x轴垂直.