选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 综合测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析

人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程综合测试题
一、单选题
1．若双曲线的一条渐近线为，则实数( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知椭圆：的焦距为4，则m等于　　
A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对
3．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则
A．4 B．5
C．6 D．7
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“方程表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，且|PF|＝，则p＝（ ）
A． B． C． D．1
7．已知有相同两焦点，的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随，的变化而变化
8．已知F1，F2为椭圆 (a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线(为常数)过点，则抛物线的焦点到它的准线的距离是（ ）
A． B．
C． D．
11．短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1?F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．12 B．24 C．24 D．18
12．设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.
14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，（点在点上方）交抛物线的准线于点，若，则直线的倾斜角的余弦值为______．
15．已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
16．以下四个命题：
①平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线的焦点到原点的距离是；
③直线与抛物线交于两点、，则；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则此正三角形的边长为.
其中正确命题的序号是_____.
三、解答题
17．已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
18．已知抛物线的准线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.
19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．
求双曲线的方程；
求椭圆的方程．
20．如图所示，椭圆的左?右焦点分别为?，一条直线经过与椭圆交于?两点.
（1）求的周长；
（2）若直线的倾斜角为，求的面积.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
22．椭圆：，椭圆：()的一个焦点坐标为，斜率为的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，点、在椭圆上，且，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x，比较系数得m=4.
【详解】
∵双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x
又∵一条渐近线方程为y=x
∴m=4
故选：B
【点睛】
本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．
2．C
【分析】
由椭圆的焦距为4，即，所以，又因为椭圆焦点位置有在轴和在轴上两种情况，所以分类讨论得或，得或
【详解】
焦点在x轴上时： ,解得：
焦点在y轴上时 ,解得：
故选C．
【点睛】
求椭圆的标准方程时，要先定形（焦点的位置），再定量计算
3．B
【分析】
设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，由抛物线的定义可得，由几何关系可得，易得，即可求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，即可求得故，根据抛物线的性质即可求出结果.
【详解】
设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，
则，
那么，易得，
于是直线AB的方程为，
代入，得，故，
所以．故选B．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和几何性质，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为、,则有如下结论：(1) ;(2)，.
4．C
【分析】
利用即可得出．
【详解】
∵，∴．
∴=．
故选C．
【点睛】
熟练掌握离心率计算公式是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
方程+=1表示双曲线?（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．
【详解】
方程+=1表示双曲线?（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．
∴k＜3是方程+=1表示双曲线的非充分非必要条件．
故答案为：D
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程、充要条件的判断、不等式的解法，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题．
6．B
【分析】
根据抛物线的定义列方程可求得．
【详解】
抛物线的准线方程为，因为P在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝．
故选：B.
7．B
【分析】
分别利用椭圆和双曲线的定义，可求得，的表达式，根据有相同的焦点，可得c相等，可得m，n的关系，整理可得，即可得答案.
【详解】
根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有：，
可得，，即，
因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，
所以，所以，
所以，即，
所以为直角三角形.
故选：B.
8．C
【分析】
用表示出，解出不等式得出的范围.
【详解】
根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为，所以，又因为b2＝a2－c2，所以，即.
.
故选：C.
9．A
【分析】
根据双曲线定义及，，整理可得的值，再根据离心率公式求得离心率.
【详解】
解：由双曲线定义可知，又，，
故，
整理得或（舍）
故离心率
故选：A.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10．B
【分析】
根据点可求出，即可求出焦点到它的准线的距离.
【详解】
抛物线过点，，
抛物线的方程为，则焦点为，准线为，
焦点到它的准线的距离为.
故选：B.
11．B
【分析】
先根据离心率和短轴的长求得长轴的长，进而利用椭圆的定义求得所求三角形的周长.
【详解】
离心率为，设则
短轴长为，,，,
,的周长=
=,
故选：B.
【点睛】
在椭圆的焦点三角形中，利用椭圆定义求周长是常用的方法，一般地，的周长为长轴长的两倍.
12．A
【分析】
利用已知条件求出点的坐标，利用两点间的距离公式求得，，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率.
【详解】
设点坐标为，
，，，
所以有，解得，
因为，所以直线的方程为，
所以有点坐标为，
所以有，，
所以，
所以，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求法，方法如下：
（1）根据题意，求得点的横坐标，代入直线方程求得点的纵坐标；
（2）利用两点间距离求得，；
（3）根据椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为；
（4）之后利用离心率的定义求得结果.
13．
【分析】
根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案.
【详解】
因为的焦点为（0,1），
所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r，
则圆心（0,1）到直线的距离，
所以弦长，解得，
故该圆的标准方程为：，
故答案为：
14．
【分析】
作出抛物线准线，作垂直于准线于，由，判断是的中位线，进一步得出，则直线l的倾斜角可求.
【详解】
解：
,设,过作出抛物线准线，则
过M作垂直于准线于,则轴
∵，F为的三等分点，所以是的三等分点，
所以，
∴，即，∴，
∴
直线的倾斜角的余弦值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，结合三角形的有关知识和抛物线的定义考查求直线倾斜角的方法，解题的关键是根据抛物线的定义求出，考查运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.
15．10
【分析】
由条件可知：且，从而求出的值，从而求出双曲线方程，则可设直线的方程，联立直线与双曲线，利用弦长公式即可求出弦长的值.
【详解】
∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
【点睛】
结论点睛：（1）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（2）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（3）弦长公式为.
16．④
【分析】
考虑定点在直线上，可判断①的正误；将抛物线的方程化为标准方程，可判断②的正误；考查直线不过抛物线的焦点，可判断③的正误；根据抛物线的对称性求出正三角形另外的两个顶点的坐标，结合根据三角形为等边三角形求出正三角形的边长，可判断④的正误.
【详解】
①当定点正好在定直线上时，平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线垂直的直线，而不是抛物线，故①错；
②当时，整理抛物线方程得，，所以抛物线的焦点坐标为，
抛物线的焦点到原点的距离是，故②错；
③当直线不是过抛物线焦点的直线时，
直线与抛物线交于两点、，
则、、三点构成三角形，由三角形三边关系可得，
故③错；
④如下图所示，由于为正三角形，且抛物线关于轴对称，
则点、关于轴对称，可得、，
由，可得，所以，，
故正的边长为，故④正确.
故答案为：④.
【点睛】
易错点点点睛：在求解抛物线的有关问题中，要注意以下几点：
（1）在抛物线的定义中，定点必须在定直线外；
（2）在求直线与抛物线的弦长时，只有焦点弦才利用公式进行计算，而一般的弦长直接利用公式进行计算.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用点在椭圆上求解基本量得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程,代入椭圆的方程,利用韦达定理、中点坐标公式以及斜率公式建立方程求解.
【详解】
解：（1）将代入,
得,.
故椭圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时不合题意,
故设直线,,的中点为,
由得,
,,
直线经过弦的中点,则,,
,,即直线的斜率为.
【点睛】
本题考查直线方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.
18．（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【分析】
（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.
【详解】
（Ⅰ）依已知得，所以；
（Ⅱ）设，，由消去，得，
则，，
所以
.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.
19．（1）（2）
【解析】
【分析】
由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；
由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．
【详解】
解：双曲线：经过点，
可得，
其中一条近线的方程为，可得，
解得，，
即有双曲线的方程为；
椭圆：与双曲线有相同的焦点，
可得，
椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，
由点F到直线AB：的距离为，可得
，化为，
由解得，，
则椭圆的方程为．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆方程求得?，结合椭圆的定义，即可求得的周长；
（2）根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，再结合和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆方程，可得?，则，
所以的周长为.
（2）由（1）知，可得?，
又由，所以直线的方程为，
联立方程组联立消去并整理，可得，
因为恒成立，
设?，所以，，
所以，
所以.
21．（1）；（2）
【分析】
（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.
【详解】
（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
22．（1）；（2）是定值，且定值为．
【分析】
（1）通过、、、和必过点的相关关系及中点弦公式求出、、写出方程；寻找主直线(没有)设点利用等量关系消元求出定值．
（2）设，，，由，可得： ，化简得，进而可求解
【详解】
（1）椭圆：()的一个焦点坐标为，
则，即有①，
设、，则，，
两式相减：，
∴，，则②，
由①②解得，，，则椭圆的方程为；
（2）设，，，
则，，，
由，可得：，∴，
∴
，
∴，∴，即，
∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，利用，通过设，，，联立方程，得到，进而可求得定值，属于基础题