选修2-1 第3章空间向量与立体几何 基础测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析
文档属性
| 名称 | 选修2-1 第3章空间向量与立体几何 基础测试题-2020-2021学年高二数学（理）上学期期末复习（人教B版）Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 09:54:24 | ||
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文档简介
人教B版选修2-1第三章空间向量与立体几何基础测试题
一、单选题
1．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
2．与向量共线的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，并且，则实数x的值为（ ）
A．10 B．-10 C． D．
4．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
7．在空间四边形中，，，，P在线段上，且，Q为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．以上都不对
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
12．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知向量，，若，则的值为_______.
14．向量，，若与共线，则______.
15．已知空间向量，1，，，3，，则___________.
16．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.用表示，则＝________.
三、解答题
17．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
18．已知空间中三点，，，设，.
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
20．已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
21．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在三棱锥中，
，，
设顶点在底面上的射影为．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）设点在棱上，且，
试求二面角的余弦值
参考答案
1．A
【分析】
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》
【详解】
因为，，
所以，
所以，
故选：A
2．D
【分析】
直接利用空间向量共线的性质判断即可.
【详解】
因为不存在实数使得
，，，
所以，，都不与共线，
因为，
所以与向量共线的向量是，
故选：D.
3．B
【分析】
根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.
【详解】
解：∵，
∴，
解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.
4．D
【分析】
利用向量共线的定义，逐个判断选项即可
【详解】
对于A，有，所以与是平行向量；
对于B，有，所以与是平行向量；
对于C，是零向量，与是平行向量；
对于D，不满足，所以与不是平行向量.
故选：D．
5．A
【分析】
由向量平行关系可求得的值，进而求得结果.
【详解】
，，，.
故选：A.
6．C
【分析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】
当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：
，
所以、、.
根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.
故选：C
7．A
【分析】
利用向量加法的几何意义即可求解.
【详解】
由
则，
，
，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了空间向量的加法运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
8．C
【分析】
根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.
【详解】
，所以，
，，，所以，
，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的平行和垂直的判断，考查了向量的数量积和平行向量数量关系的应用，属于基础题.
9．A
【分析】
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.
【详解】
因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
10．C
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面所成角的正弦值．
【详解】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，2），，
因为y轴与垂直，
则平面的一个法向量，
设直线EF与平面所成角为θ，
则．
∴直线EF与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
11．A
【分析】
如图所示，利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出：，.
【详解】
如图所示，，，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则，属于基础题.
12．D
【分析】
利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.
【详解】
因为平面，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.
13．
【分析】
利用可得，利用坐标求向量数量积即可求解.
【详解】
因为向量，，
所以，解得：，
所以，
，
故答案为：.
14．4
【分析】
由空间向量共线的坐标表示求解．
【详解】
由题意，解得．则．
故答案为：4．
15．
【分析】
根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.
【详解】
空间向量，1，，，3，，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
17．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【点睛】
本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.
18．（1）（2） 或
【解析】
试题分析：（1）求得向量的坐标，将其代入夹角公式可求解向量夹角余弦值；（2）由向量垂直可得到向量的数量积为0，代入点的坐标可得到k的值
试题解析：（1） ， ，
设与的夹角为 ∴
（2） ，且
∴ 即： 或
考点：向量的坐标运算及向量的夹角
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面 ．
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明．
【详解】
证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，
共面.
（2），
．
【点睛】
本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题．
20．(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2)．
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体的棱长为2.
由题意知A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2），
C（0，2，0），∴N（2，2，1）.
(2)由(1)可知，（2，0，1），
设直线AM与CN所成的角为θ，
则cosθ＝|cos|＝||．
∴直线AM与CN所成的角的余弦值是．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题．
21．(1)见解析;(2).
【分析】
分析：（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接，根据中位线即可得即可求证；（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.
详解：
（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，
设与平面所成角为，
则.
点睛：考查立体几何的线面平行证明，线面角的求法，对定理的熟悉和常规方法要做到熟练是解题关键.属于中档题.
22．（I）详见解析； （II）．
【解析】
分析：（1）可证BCDE为正方形即可；（2）求面面角则可直接建立空间直角坐标系求出两个面的法向量，在根据向量的夹角公式求解即可.
详解：（I）方法一：由平面得，
又，则平面，
故，…………………………………………3分
同理可得，则为矩形，又，
则为正方形，故．…………………6分
方法二：由已知可得，设为的中点，则
，则平面，故平面平面，则顶点在
底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，
则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分
由已知可得，则，故，则，
又，则，………………………………………………………………故，即二面角的余弦值为．………………………14
分
方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐
标系，则，
可得，则，易知平面
的一个法向量为，设平面的一个法向量为
，则由得，
则，即二面角的余弦值为．
点睛：解立体几何题关键是首先要将已知的量的关系理清楚，在根据问题逆向分析需要哪些条件，而对于二面角问题则通常直接选择建系利用向量来求解.
一、单选题
1．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
2．与向量共线的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，并且，则实数x的值为（ ）
A．10 B．-10 C． D．
4．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
7．在空间四边形中，，，，P在线段上，且，Q为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．以上都不对
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
12．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知向量，，若，则的值为_______.
14．向量，，若与共线，则______.
15．已知空间向量，1，，，3，，则___________.
16．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.用表示，则＝________.
三、解答题
17．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
18．已知空间中三点，，，设，.
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
20．已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
21．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在三棱锥中，
，，
设顶点在底面上的射影为．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）设点在棱上，且，
试求二面角的余弦值
参考答案
1．A
【分析】
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》
【详解】
因为，，
所以，
所以，
故选：A
2．D
【分析】
直接利用空间向量共线的性质判断即可.
【详解】
因为不存在实数使得
，，，
所以，，都不与共线，
因为，
所以与向量共线的向量是，
故选：D.
3．B
【分析】
根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.
【详解】
解：∵，
∴，
解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.
4．D
【分析】
利用向量共线的定义，逐个判断选项即可
【详解】
对于A，有，所以与是平行向量；
对于B，有，所以与是平行向量；
对于C，是零向量，与是平行向量；
对于D，不满足，所以与不是平行向量.
故选：D．
5．A
【分析】
由向量平行关系可求得的值，进而求得结果.
【详解】
，，，.
故选：A.
6．C
【分析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】
当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：
，
所以、、.
根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.
故选：C
7．A
【分析】
利用向量加法的几何意义即可求解.
【详解】
由
则，
，
，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了空间向量的加法运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
8．C
【分析】
根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.
【详解】
，所以，
，，，所以，
，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的平行和垂直的判断，考查了向量的数量积和平行向量数量关系的应用，属于基础题.
9．A
【分析】
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.
【详解】
因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
10．C
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面所成角的正弦值．
【详解】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，2），，
因为y轴与垂直，
则平面的一个法向量，
设直线EF与平面所成角为θ，
则．
∴直线EF与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
11．A
【分析】
如图所示，利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出：，.
【详解】
如图所示，，，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则，属于基础题.
12．D
【分析】
利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.
【详解】
因为平面，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.
13．
【分析】
利用可得，利用坐标求向量数量积即可求解.
【详解】
因为向量，，
所以，解得：，
所以，
，
故答案为：.
14．4
【分析】
由空间向量共线的坐标表示求解．
【详解】
由题意，解得．则．
故答案为：4．
15．
【分析】
根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.
【详解】
空间向量，1，，，3，，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
17．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【点睛】
本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.
18．（1）（2） 或
【解析】
试题分析：（1）求得向量的坐标，将其代入夹角公式可求解向量夹角余弦值；（2）由向量垂直可得到向量的数量积为0，代入点的坐标可得到k的值
试题解析：（1） ， ，
设与的夹角为 ∴
（2） ，且
∴ 即： 或
考点：向量的坐标运算及向量的夹角
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面 ．
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明．
【详解】
证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，
共面.
（2），
．
【点睛】
本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题．
20．(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2)．
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体的棱长为2.
由题意知A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2），
C（0，2，0），∴N（2，2，1）.
(2)由(1)可知，（2，0，1），
设直线AM与CN所成的角为θ，
则cosθ＝|cos|＝||．
∴直线AM与CN所成的角的余弦值是．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题．
21．(1)见解析;(2).
【分析】
分析：（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接，根据中位线即可得即可求证；（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.
详解：
（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，
设与平面所成角为，
则.
点睛：考查立体几何的线面平行证明，线面角的求法，对定理的熟悉和常规方法要做到熟练是解题关键.属于中档题.
22．（I）详见解析； （II）．
【解析】
分析：（1）可证BCDE为正方形即可；（2）求面面角则可直接建立空间直角坐标系求出两个面的法向量，在根据向量的夹角公式求解即可.
详解：（I）方法一：由平面得，
又，则平面，
故，…………………………………………3分
同理可得，则为矩形，又，
则为正方形，故．…………………6分
方法二：由已知可得，设为的中点，则
，则平面，故平面平面，则顶点在
底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，
则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分
由已知可得，则，故，则，
又，则，………………………………………………………………故，即二面角的余弦值为．………………………14
分
方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐
标系，则，
可得，则，易知平面
的一个法向量为，设平面的一个法向量为
，则由得，
则，即二面角的余弦值为．
点睛：解立体几何题关键是首先要将已知的量的关系理清楚，在根据问题逆向分析需要哪些条件，而对于二面角问题则通常直接选择建系利用向量来求解.