第七章测评-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习word含解析

第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆交于点-,-,则sin
α的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-
C.
D.
解析由正弦函数的定义,知sin
α=y=-.
答案B
2.(2020山东济南高一检测)下列各角中,与角终边相同的角是(　　)
A.-
B.-
C.
D.
解析与角终边相同的角的集合为αα=+2kπ,k∈Z,取k=-1,可得α=-.所以与角终边相同的角是-.
答案B
3.(2020福建莆田高一检测)某广告公司制作一块形状为扇环形的广告牌(如图),测得该扇环的长为6米,的长为2米,AD与BC的长均为2米.若每平方米的制作费用为200元,则此广告牌的制作费用是(　　)
A.800元
B.1
600元
C.2
400元
D.3
200元
解析设扇环的圆心角为θ,小扇形的半径为r,则大扇形的半径为r+2,则解得所以扇环的面积S=×32×2-×12×2=8(平方米).所以此广告牌的制作费用是8×200=1
600(元).
答案B
4.要得到函数y=sin2x+的图像,只需将函数y=sin
2x的图像(　　)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析∵y=sin2x+=sin,
∴只需将函数y=sin
2x的图像向左平移个单位即可得到函数y=sin2x+的图像.
答案A
5.(2020山东潍坊高一检测)已知a=sin
50°,b=cos(-20°),c=tan
60°,则(　　)
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.b>c>a
解析利用公式得c=tan
60°=>1,b=cos(-20°)=cos
20°=sin
70°,因为050°70°<1,所以a答案A
6.若函数f(x)=sin
2x+2cos
x在区间上的最大值为1,则θ的值是(　　)
A.0
B.
C.
D.-
解析由f(x)=sin
2x+2cos
x=1-cos
2x+2cos
x取到最大值1,可知cos
x=0,结合三角函数的图像易知θ=-,故选D.
答案D
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则(　　)
A.A=4
B.ω=1
C.φ=
D.B=4
解析根据函数的最大值和最小值得
求得A=2,B=2,
函数的周期为×4=π,即π=,ω=2,
当x=时函数取最大值,即sin2×+φ=1,2×+φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=.
故选C.
答案C
8.(2020广州高一检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A,0为其图像的对称中心,B,C是该图像上相邻的最高点和最低点.若BC=4,则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.2k-,2k+,k∈Z
B.2kπ-π,2kπ+π,k∈Z
C.4k-,4k+,k∈Z
D.4kπ-π,4kπ+π,k∈Z
解析函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,已知B,C是该图像上相邻的最高点和最低点,又BC=4,所以(2)2+2=42,即12+=16,得ω=.A,0为f(x)图像的对称中心,所以+φ=kπ,k∈Z,可得φ=-,所以f(x)=sinx-.令2kπ-x-≤2kπ+,求得4k-≤x≤4k+,故f(x)的单调递增区间为4k-,4k+,k∈Z.
答案C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.若sin
α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有
(　　)
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α+cos
α=
D.sin
α-cos
α=-
解析因为sin
α=,且α为锐角,所以cos
α=,故B正确;tan
α=,故A正确;sin
α+cos
α=,故C错误;sin
α-cos
α=≠-,故D错误.
答案AB
10.同时满足下列三个条件的函数为(　　)
①在0,上单调递增;②为R上的奇函数;③最小正周期为T≥π.
A.y=tan
x
B.y=|cos
x|
C.y=tan
2x
D.y=sinx
解析A中y=tan
x,在0,上单调递增,且为奇函数,又是以π为最小正周期的函数,三个条件均满足;
B中y=|cos
x|为偶函数,在0,上单调递减,最小正周期为π,不满足条件②;
C中y=tan
2x,以为最小正周期,不满足条件③;
D中y=sin,在0,上单调递增,且为奇函数,最小正周期为4π,满足三个条件.
故选AD.
答案AD
11.已知函数y=sin2x-,则以下说法正确的是
(　　)
A.周期为
B.非奇非偶函数
C.函数图像的一条对称轴为直线x=
D.函数在上单调递减
解析该函数的周期T=;
因为f(-x)=sin-2x-=sin2x+,所以该函数是非奇非偶函数;函数y=sin2x-在上单调递减,但y=sin2x-在上单调递增,令x=,则y=sin2×=1,x=为函数图像的对称轴,因此BC正确.
答案BC
12.将函数f(x)的图像向右平移个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图像.已知函数g(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)(　　)
A.最小正周期为π,最大值为2
B.最小正周期为π,图像关于点,0中心对称
C.最小正周期为π,图像关于直线x=对称
D.最小正周期为π,在区间上单调递减
解析由题图可知,A=2,T=4=,
ω==3.
又由g=2可得φ=-+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,
∴φ=-.
∴g(x)=2sin3x-,
则f(x)=2sin2x+.
∴f(x)的最小正周期为π,最大值为2,选项A正确;对于B,令2x+=kπ(k∈Z),则x=,可知函数f(x)图像的对称中心为,0(k∈Z),B错误;对于C,令2x+=kπ+(k∈Z),所以x=(k∈Z),函数图像的对称轴方程为x=(k∈Z),C正确;又当x∈时,2x+,所以f(x)在上是减函数,D正确.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数y=b+asin
x(a<0)的最大值为-1,最小值为-5,则y=tan[(3a+b)x]的最小正周期为　　　　.?
解析函数y=b+asin
x(a<0)的最大值为-1,最小值为-5,所以解得
所以y=tan(-9x)=-tan
9x的最小正周期为.
答案
14.(2020浙江温州高一检测)已知角α的终边过点P(1,-2),则tan
α=　　　,=　　　　.?
解析因为角α的终边过点P(1,-2),所以tan
α==-2,可得.
答案-2　
15.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的图像中两个相邻的最高点和最低点分别为,1,,-1,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.?
解析因为图像中两个相邻的最高点和最低点分别为,1,,-1,
所以,即T=π,则=π,即ω=2.
由五点法作图得2×+φ=kπ,又|φ|<,得φ=-,所以f(x)=cos2x-,由2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
答案,k∈Z
16.《九章算术》是我国古代的数学著作,书中给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=×(弦×矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对应的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为3米的弧田,如图2所示,按照上述经验公式可得弧田面积大约是　　　　平方米.(结果保留整数)?
解析由题意可得∠AOB=,OA=3,在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=,可得矢=3-,由AD=AOsin=3×,可得弦=2AD=3,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=3+2=
(平方米)≈5(平方米).
答案5
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知扇形AOB的周长是80
cm.
(1)若其面积为300
cm2,求扇形圆心角的弧度数;
(2)求扇形AOB面积的最大值及此时圆心角的弧度数.
解设扇形的半径为r,弧长为l.
(1)由解得
所以∠AOB==6或.
(2)因为l+2r=80,所以l=80-2r,
所以S=lr=(80-2r)·r=40r-r2
=-r2+40r=-(r-20)2+400,
所以当r=20时,Smax=400,
此时l=80-2r=40,
所以∠AOB==2.
18.(12分)(2020河南郑州高一检测)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为-.
(1)求的值;
(2)若OP⊥OQ,求3sin
β-4cos
β的值.
解(1)由题得cos
α=-,sin
α=,
所以.
(2)由题得α-β=,
所以α=+β,
所以cos
α=-sin
β,sin
α=cos
β,
所以sin
β=,cos
β=,
所以3sin
β-4cos
β==-.
19.(12分)(2020湖南娄底高一检测)已知f(θ)=.
(1)化简f(θ);
(2)若sin
θ=,且θ∈,π,求f(θ)的值.
解(1)f(θ)
=
=
=-cos
θ.
(2)由sin
θ=,且θ∈,π.
得cos
θ=-=-=-,
所以f(θ)=-cos
θ=.
20.(12分)已知函数f(x)=sin2x++1.
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的简图;
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.
解(1)∵-≤x≤,
∴0≤2x+≤2π.
列表如下:
x
-
2x+
0
π
2π
f(x)
1
2
1
0
1
画出图像如下图所示:
(2)由2x+=kπ,k∈Z,
得x=,k∈Z,
可知函数图像的对称中心为,1,k∈Z.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数的单调递增区间为,k∈Z.
(3)当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时,函数f(x)取得最大值,且最大值为2.
故函数f(x)的最大值为2,
此时x=kπ+,k∈Z.
21.(12分)如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解(1)设种群数量y关于t的解析式为
y=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|≤,
则解得A=100,b=800.
∵周期T=2×(6-0)=12,∴ω=,
∴y=100sint+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sin×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin
φ=-1,
又|φ|≤,
∴取φ=-,
∴y=100sint-+800.
(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,
即当年3月1日动物种群数量约是750.
22.(12分)(2020山东菏泽高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的周期为π,且图像上的一个最低点为M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+1在,b上至少含20个零点时,求b的最小值.
解(1)由题意可知,T==π,ω=2,
又f(x)最小值为-2,则A=2.
因为sin2·+φ=-1,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=.
所以函数f(x)=2sin2x+.
(2)f(x)=2sin2x+.列表:
x
-
2x+
0
π
2π
f(x)
0
2
0
-2
0
函数g(x)=f(x)+1在,b上至少含20个零点时,等价于f(x)的图像与直线y=-1在,b上至少含20个交点,所以b的最小值为+9×π=.