综合测评-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习word含解析

综合测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=4sin
2x(x∈R)是(　　)
　　
　　　　　　　　　　　　　　
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
解析周期为=π,因为定义域为R,以-x替换x,得4sin(-2x)=-4sin
2x,可知函数为奇函数.
答案C
2.sin
140°cos
10°+cos
40°sin
350°=(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析依题意,原式=sin
40°cos
10°-cos
40°sin
10°=sin(40°-10°)=sin
30°=,故选A.
答案A
3.已知α∈0,,2sin
2α=cos
2α+1,则sin
α=
(　　)
A.
B.
C.
D.
解析∵2sin
2α=cos
2α+1,∴4sin
αcos
α=2cos2α,
∵α∈0,,∴cos
α>0,sin
α>0,
∴2sin
α=cos
α.
又sin2α+cos2α=1,∴sin
α=.故选A.
答案A
4.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则=(　　)
A.
B.
C.
D.9
解析由题意知∠ABC=120°,=2×2×cos
120°=-2,=()·()=()·=×22-×(-2)+22=9.故选D.
答案D
5.
函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin
2x的图像,可将f(x)的图像(　　)
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
解析因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),函数图像过点,-1,所以-1=sin+φ,可得φ=,因此函数f(x)=sin2x+的图像向右平移个单位得到函数g(x)=sin
2x的图像,故选A.
答案A
6.一个半径为R的扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含的弓形的面积是(　　)
A.(2-sin
2)R2
B.R2sin
2
C.R2
D.R21-
解析弧长l=4R-2R=2R,扇形的圆心角α==2,S扇形=lR=×2R×R=R2,S三角形=×2Rsin
1×Rcos
1=·R2,S弓形=S扇形-S三角形=R2-·R2=R21-.
答案D
7.已知cos
α=-,α∈(-π,0),则tanα-=
(　　)
A.
B.7
C.-
D.-7
解析∵cos
α=-,α∈(-π,0),
∴α∈-π,-,
∴sin
α=-,tan
α=,
则tanα-==-,故选C.
答案C
8.黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).如图所示,五角星是由五个黄金三角形与一个正五边形组成,在其中一个黄金△ABC中,.根据这些信息,可得sin
234°=(　　)
A.
B.-
C.-
D.-
解析由题图可知,∠ACB=72°,
且cos
72°=.
所以cos
144°=2cos272°-1=-.
则sin
234°=sin(144°+90°)=cos
144°=-.
答案C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.若将函数f(x)=2sin2x+的图像向右平移φ个单位,所得函数为偶函数,下列选项中,满足φ的取值的是
(　　)
A.
B.
C.
D.-
解析由题意知函数f(x)=2sin2x+的对称轴满足2x+=kπ+(k∈Z),即x=(k∈Z),当k=-1时,可得位于y轴左侧的对称轴方程为x=-,此时φ=.当k=0时,可得位于y轴右侧的对称轴方程为x=,此时φ=-.
综上可得A,D满足题意,故选AD.
答案AD
10.下列四个选项中,结果正确的是(　　)
A.cos(-15°)=
B.cos
15°cos
105°+sin
15°sin
105°=0
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=
D.sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°=
解析选项A:原式=cos
15°=cos(45°-30°)
=cos
45°cos
30°+sin
45°sin
30°
=,A错误;
选项B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos
90°=0,B正确;
选项C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos
60°=,C正确;
选项D:原式=cos
76°cos
16°+sin
76°sin
16°=cos(76°-16°)=cos
60°=,D正确.
答案BCD
11.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有(　　)
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若c·a+c2=0,则△ABC为直角三角形
解析在△ABC中,=c,=a,=b,
①若a·b>0,则∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,选项A错误;
②若a·b=0,则,△ABC为直角三角形,选项B正确;
③若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即·()=0;·()=0,取AC的中点D,则·2=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,选项C正确;
④因为c·a+c2=·()=0,所以=0,所以,即选项D正确.
故选B,C,D.
答案BCD
12.对于函数f(x)=cos2x-,给出下列结论,其中正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在上的值域是
C.函数f(x)在上单调递减
D.函数f(x)的图像关于点-,0对称
解析由诱导公式可得:
f(x)=cos2x-=sin
2x,
所以T==π≠2π,选项A错误;
若x∈,则2x∈sin
2x∈,故函数f(x)在上的值域是,选项B错误;
令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),函数f(x)在
(k∈Z)上单调递减,当k=0时,函数f(x)在上单调递减,选项C正确;
令2x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),函数f(x)=sin
2x的对称中心为,0(k∈Z),当k=-1时,函数f(x)的图像关于点-,0对称,选项D正确.
答案CD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若sin,且sin
θ<0,则θ是第　　　　　象限角.?
解析由倍角公式得cos
θ=1-2sin2=1-2×2=-<0,又sin
θ<0,因此,θ是第三象限角.
答案三
14.设α为锐角,若cosα+=,则sin2α+的值为　　　　　.?
解析设β=α+,则sin
β=,sin
2β=2sin
βcos
β=,cos
2β=2cos2β-1=,
因此sin2α+=sin2α+=sin2β-=sin
2βcos-cos
2βsin.
答案
15.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=1,|c-(a+b)|≤|a-b|,则|c|的最大值为　　　　　.?
解析当|c|为定值时,|c-(a+b)|当且仅当c与a+b同向时取最小值,此时|c-(a+b)|=|c|-|a+b|≤|a-b|,
所以|c|≤|a+b|+|a-b|.因为|a|=|b|=1,
所以(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=4,
所以(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b|·|a-b|≤2[(a+b)2+(a-b)2]=8,
所以|c|≤|a+b|+|a-b|≤2,当且仅当a⊥b且c与a+b同向时取等号.
答案2
16.函数y=cos2x-4sin
x的最小值为　　　　,最大值为　　　　.?
解析y=cos2x-4sin
x=1-sin2x-4sin
x
=-(sin
x+2)2+5,
因为sin
x∈[-1,1],所以当sin
x=-1时,ymax=-1+5=4;
当sin
x=1时,ymin=-9+5=-4.
答案-4　4
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知f(a)=
.
(1)化简f(a);
(2)若f(a)=,且a-sin
a的值.
解(1)f(a)
=
==sin
acos
a=sin
2a.
(2)由(1)知,f(a)=sin
2a=,得sin
2a=,
所以(cos
a-sin
a)2=1-sin
2a=,
因为a-sin
a<0,
所以cos
a-sin
a=-.
18.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).
(1)若a-tb与c共线,求实数t;
(2)求|a+tb|的最小值及相应的t值.
解(1)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),
又a-tb与c共线,c=(3,-1),
∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=.
(2)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),
∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),
∴|a+tb|=
=,当且仅当t=时取等号,即|a+tb|的最小值为.
19.
(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α,β(β>α)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的坐标为.
(1)若点B的坐标为,求cos(α+β)的值;
(2)若,求sin
β.
解(1)因为α、β是锐角,且A,B在单位圆上,所以sin
α=,cos
α=,sin
β=,cos
β=,故cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β==-.
(2)因为,
所以||||cos(β-α)=,
且||=||=1,所以cos(β-α)=,可得sin(β-α)=(β>α),且cos
α=,sin
α=,
故sin
β=sin
[α+(β-α)]=sin
αcos(β-α)+cos
αsin(β-α)=.
20.(12分)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间上的最小值.
解(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos2ωx,
所以f(x)=sin
ωxcos
ωx+sin
2ωx+cos
2ωx+sin.
由于ω>0,依题意得=π,所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin,
所以g(x)=f(2x)=sin.
当0≤x≤时,≤4x+,所以≤sin≤1.因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21.(12分)向量a=cos
x,-,b=(sin
x,cos
2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的表达式并化简;
(2)求出f(x)的最小正周期并在下图中画出函数f(x)在区间[0,π]内的简图;
(3)若方程f(x)-m=0在[0,π]上有两个根α,β,求m的取值范围及α+β的值.
解(1)f(x)=sin
xcos
x-cos
2x
=sin
2x-cos
2x=sin2x-.
(2)f(x)的最小正周期T=π.
(3)由图可知,当m∈-1,-时,,即α+β=;当m∈-,1时,,即α+β=;所以m的取值范围为-1,-∪-,1,且α+β=.
22.(12分)已知向量=cos,sin,=cos,-sin,且x∈-.
(1)若f(x)=,求函数f(x)关于x的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)设t=2f(x)+a的值域为D,且函数g(t)=t2+t-2在D上的最小值为2,求a的值.
解(1)f(x)=
=coscos-sinsin
=cos=cos
2x.
(2)由(1)知f(x)=cos
2x,
∵x∈,∴2x∈-,
∴cos
2x∈[0,1].故函数f(x)的值域为[0,1].
(3)由(2)知2f(x)+a∈[a,a+2],
即D=[a,a+2].
由题可得,g(t)对称轴为t=-1,且当t≤-1时,g(t)单调递减;当t>-1时,g(t)单调递增.
①当a+2≤-1,即a≤-3时,g(t)min=g(a+2)=(a+2)2+(a+2)-2=2,解得a=-6或a=0(舍).
②当a<-1③当a≥-1时,g(t)min=g(a)=a2+a-2=2,解得a=2或a=-4(舍).综上所述,a=2或a=-6.