苏科版九年级下册数学 7.5解直角三角形 同步测试试卷（Word版含答案）

7.5解直角三角形
同步测试
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（　　）
A．（8，）
B．（8，12）
C．（6，）
D．（6，10）
3．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上的一点，且AF：FC＝4：1，EF⊥AC于点F，连结FB．则tan∠BFC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，则∠DAC的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若sinB＝，则tan∠ACD的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（　　）
A．0.75
B．0.8
C．1.25
D．1.35
8．如图，已知AB＝8，以AB为斜边作Rt△ABC，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线，再过点A作AB的垂线，使两线相交于点D．设AC＝x，DC＝y，则（x﹣y）的最大值是（　　）
A．2
B．3
C．2.5
D．3.5
9．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，一个底角的余切值为，那么这个等腰三角形的底边长等于（　　）
A．12
B．16
C．
D．
10．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，则tan∠ACE的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝　
　．
12．已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝6，AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为　
　．
13．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为　
　．
14．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠B＝48°，AC＝10，tan∠ACB＝，将△ABC沿BC方向平移到△A'B'C'，连接AB'，当AB＝AB'时，点B'到AC的距离为　
　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sin∠CAH的值；
（2）如果CD＝，求BE的值．
18．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　
　，tan30°＝　
　，发现结论：tanA　
　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝　
　；
②求tan3A的值．
参考答案
一．选择题
1．解：过点P作PE⊥x轴于E．
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠POE＝＝，
∴OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴cosα＝＝．
故选：B．
2．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF＝＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG＝＝12，
则点F的坐标是（8，12），
故选：B．
3．解：如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
4．解：设AB＝2x，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝x，AC＝AB?cos∠A＝2x?＝x．
∵AF：FC＝4：1，
∴FC＝AC＝x，
∴tan∠CFB＝＝＝．
故选：C．
5．解：∵AC＝3，AB＝4，
由勾股定理BC＝＝＝5，
由面积公式得AB?AC＝AD?BC，
∴AD＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝，
故选：D．
6．解：∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
∴tan∠ACD＝tan∠B＝＝，
故选：C．
7．解：连接AG，
∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，
∴+＝×AC×BD，
∵AC＝AB，
∴GE+GF＝BD，
∵BD＝4，GE＝1.5，
∴GF＝2.5，
∵tanC＝2＝，BD＝4，
∴CD＝2，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴EG∥BD，
∴△CEG∽△CDB，
∴＝，
∴＝，
解得：BG＝，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝BF2+GF2，
（）2＝BF2+2.52，
解得：BF＝1.25（负数舍去），
故选：C．
8．解：∵∠DAB＝90°、CD∥AB，
则∠ADC＝∠BCA＝90°，∠ACD＝∠BAC，
∴△ABC∽△CAD，
∴＝，即，
则y＝x2，
∴x﹣y＝x﹣x2＝﹣（x﹣4）2+2，
∴x﹣y的最大值为2，
故选：A．
9．解：如右图所示，
∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，一个底角的余切值为，
设BD＝3a，则AD＝4a，
∴（3a）2+（4a）2＝102，
解得，a＝2，
∴3a＝6，
即BD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
故选：A．
10．解：设AC和BD相交于点O，
∵BD＝BE+DE＝10，∴OB＝OC＝5．
∵BE＝2，∴OE＝3．
在Rt△OCE中，CE＝＝＝4，
∴tan∠ACE＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝4k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，AC＝6，
∴CD＝ACcos∠C＝6cos60°＝6×＝3，
AD＝ACsin∠C＝6sin60°＝6×＝3，
∵AB＝6，
∴BD＝＝＝9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，
故答案为：12．
13．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
14．解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故答案为：．
15．解：如图，作AJ⊥BC于J，B′H⊥AC于H．
在Rt△AJC中，AC＝10，tan∠ACB＝＝，
∴JC＝2AJ，
∴5AJ2＝102，
∴AJ＝2，JC＝4，sin∠ACB＝
∵AB＝AB′，AJ⊥BB′，∠BAJ＝90°﹣48°＝42°
∴BJ＝JB′＝AJ?tan42°＝2tan42°
∴CB′＝CJ﹣JB′＝4﹣2tan42°
∴B′H＝CB′?sin∠ACB＝（4﹣2tan42°）?＝4﹣2tan42°，
故答案为：4﹣2tan42°．
三．解答题
16．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴cosA＝＝，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，
∴k＝3，
∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD＝，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD?BE＝?AC?BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠ABE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
17．解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AHC＝90°，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得：AC＝＝CH，
∴sin∠CAH＝＝＝；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACH＝90°，
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，
∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
18．解：（1）tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan∠A，
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，
∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
∴BC＝1，AB＝
设AE＝x，则EC＝3﹣x
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝
∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．
故答案为：．
②如图，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y
∵∠MBE＝∠EBA，
∴＝，即＝，
∴BM＝y
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（y）2＝（﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）
即EM＝，CM＝﹣＝．
∴tan3A＝tan∠BMC＝
＝＝．