课时训练
万有引力定律
A组
夯基提能
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.北斗卫星导航系统建成后将实现全球服务,该系统包括同步卫星和一般轨道卫星。关于这些卫星,下列说法中正确的是
( )
A.同步卫星的轨道半径一定相同
B.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
C.同步卫星的运行轨道可以在南京上空
D.导航系统所有卫星中,运行轨道半径越大,周期越小
【解析】选A。同步卫星轨道位于赤道平面上空特定高度,C项错误,A项正确;第一宇宙速度是最大的绕行速度,故B项错误;根据公式G=mR,卫星运行轨道半径越大,周期越大,故D项错误。
2.“人造月亮”是一种携带大型空间反射镜的人造空间照明卫星,将部署在距离地球500
km以内的低地球轨道上,其亮度是月球亮度的8倍,可为城市提供夜间照明。假设“人造月亮”绕地球做圆周运动,则“人造月亮”在轨道上运动时
( )
A.“人造月亮”的线速度等于第一宇宙速度
B.“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度
C.“人造月亮”的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.“人造月亮”的公转周期大于月球的绕地球运行的周期
【解析】选B。第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大运行速度,根据=m
可得v=,所以“人造月亮”的运行速度不可能等于第一宇宙速度,故A错误;根据=mω2r
可得ω=
,由于“人造月亮”绕地球做圆周运动的半径小于月球绕地球运行的半径,所以“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度,故B正确;根据=mg可得g=,由于“人造月亮”绕地球做圆周运动的半径大于地球半径,所以“人造月亮”的向心加速度小于地球表面的重力加速度,故C错误;根据=mr
可得T=
,由于“人造月亮”绕地球做圆周运动的半径小于月球绕地球运行的半径,所以“人造月亮”的公转周期小于月球的绕地球运行的周期,故D错误。
3.(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月,我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描绘F随h变化关系的图像是
( )
【解析】选D。根据万有引力定律,“嫦娥四号”受到地球的引力为F=G,h越大,F越小,且F-h图像为曲线,故D正确,A、B、C错误。
4.如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动的示意图,其中b、c是地球同步卫星,a在半径为r的轨道上,此时a、b恰好相距最近,已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为ω,引力常量为G,则
( )
A.卫星b加速一段时间后就可能追上卫星c
B.卫星b和c的线速度相等
C.到卫星a和b下一次相距最近,还需经过时间t=
D.卫星a减速一段时间后就可能追上卫星c
【解析】选C。卫星b加速后将做离心运动,轨道变高,不可能追上卫星c,选项A错误;由G=m可得v=,则卫星b和c线速度大小相等,但方向不同,故B错误;对卫星a,根据万有引力提供向心力有:G=mr,所以卫星a的角速度ωa=,可知半径越大角速度越小,卫星a和b由相距最近至再次相距最近时,圆周运动转过的角度差为2π,所以可得经历的时间:t=,选项C正确;卫星a减速后将做近心运动,轨道半径减小,不可能追上卫星c,选项D错误。
5.(2020·全国Ⅲ卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D。在地球表面上,G=mg①,“嫦娥四号”绕月球做圆周运动由万有引力提供向心力:G=②,由①②解得v===,D正确。
6.科学家通过射电信号首次探测到奇特的时空涟漪,其被称为引力波,形成原因是来自中子星的双星系统。引力波的产生意味着中子星的双星系统能量在降低,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若该双星系统的总质量为m,经过一段时间演化后,两星做匀速圆周运动的周期变为原来的p倍。两星之间的距离变为原来的q倍,则演化后系统的总质量为
( )
A.m
B.m
C.m
D.m
【解析】选C。设m1的轨道半径为R1,m2的轨道半径为R2,两星之间的距离为L。由于它们之间的距离恒定,因此双星在空间的绕向一定相同,同时万有引力和周期都相同。由万有引力提供向心力
对m1有:G=m1R1
①
对m2有:G=m2R2
②
又因为R1+R2=L,m1+m2=m,
联立以上各式可得:m=
经过一段时间演化后,两星做圆周运动的周期变为原来的p倍,两星之间的距离变为原来的q倍,故:m′=,解得:m′=m,故选C。
7.(2020·随州高一检测)2019年12月20日,国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载CZ—4B火箭成功发射,双星顺利进入预定轨道,假设两个质量分别为m1和m2(m1>m2)的星体A和B组成一双星系统,二者中心之间的距离为L,运动的周期为T,万有引力常量为G,下列说法正确的是
( )
A.因为m1>m2,所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有引力
B.星体A做圆周运动的半径为L
C.星体B的线速度大小为
D.两星体的质量之和为
【解析】选D。二者之间的万有引力提供了彼此的向心力,此为相互作用力,等大反向,A错误;由G=m1r1()2,G=m2r2()2,r1+r2=L,联立可得,星体A、星体B的运动半径分别为r1=L,r2=L,B错误;星体B的线速度为v=
,解得v=,C错误;将G=m1r1()2,G=m2r2()2,化简后相加,结合r1+r2=L,可解得m1+m2=,D正确。
8.(多选)“鹊桥”号是世界首颗运行于地月拉格朗日L2点附近的中继通信卫星,如图它以地月连线为轴做圆周运动,同时随月球绕地球运转。已知地球质量为M,月球质量为m,月球的轨道半径为r,公转周期为T,引力常量为G;当卫星处于地月拉格朗日点L1或L2时,都能随月球同步绕地球做圆周运动。则以下说法正确的是
( )
A.“鹊桥”号中继通信卫星仅受月球引力作用
B.在L2点工作的卫星比在L1点工作的卫星的线速度大
C.在拉格朗日L1点工作的卫星,受到地球的引力一定大于月球对它的引力
D.拉格朗日L2点与地心的距离为
【解析】选B、C。“鹊桥”号中继通信卫星同时受到地球和月球的引力作用,选项A错误;在L2点工作的卫星与在L1点工作的卫星具有相同的角速度,则在L2点工作的卫星比在L1点工作的卫星的线速度大,选项B正确;在拉格朗日L1点工作的卫星,受到的合外力方向指向地球,则受地球的引力一定大于月球对它的引力,选项C正确;对月球:G=m()2r,解得r=,可知拉格朗日L2点与地心的距离大于,选项D错误。
二、计算题
9.宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行,已知飞船运行的周期为T,行星的平均密度为ρ。试证明ρT2=k(引力常量G为已知,k是恒量)。
【解析】设行星半径为R、质量为M,飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时,有
G=m()2R,即=
①,
又行星密度ρ=
②,
将①代入②得ρT2==k
10.宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已知双星系统中星体A的质量为m,星体B的质量为2m,两星体相距为L,同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动,引力常量为G,求该双星系统运动的周期。
【解析】双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动,设该点距星体A为R,距星体B为r
对星体A,有G=mR
①
对星体B,有G=2mr
②
根据题意有R+r=L
③
由以上各式解得T=2πL。
答案:2πL
11.2021年,我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时,先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动,测得运动周期为T,之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后,以速度v竖直向上反弹,经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响,已知万有引力常量为G,求:
(1)火星表面的重力加速度g。
(2)火星的半径R与质量M。
【解析】(1)探测器在火星表面做竖直上抛运动,
根据速度公式可知:t=,
解得火星表面重力加速度:g=。
(2)物体在火星表面受到的万有引力等于重力,
即=mg
探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,
可得:=m′·2R,
联立解得:R=,M=。
答案:(1) (2) 课时训练
万有引力定律
A组
夯基提能
一、选择题
1.北斗卫星导航系统建成后将实现全球服务,该系统包括同步卫星和一般轨道卫星。关于这些卫星,下列说法中正确的是
( )
A.同步卫星的轨道半径一定相同
B.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
C.同步卫星的运行轨道可以在南京上空
D.导航系统所有卫星中,运行轨道半径越大,周期越小
2.“人造月亮”是一种携带大型空间反射镜的人造空间照明卫星,将部署在距离地球500
km以内的低地球轨道上,其亮度是月球亮度的8倍,可为城市提供夜间照明。假设“人造月亮”绕地球做圆周运动,则“人造月亮”在轨道上运动时
( )
A.“人造月亮”的线速度等于第一宇宙速度
B.“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度
C.“人造月亮”的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.“人造月亮”的公转周期大于月球的绕地球运行的周期
3.(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月,我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描绘F随h变化关系的图像是
( )
4.如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动的示意图,其中b、c是地球同步卫星,a在半径为r的轨道上,此时a、b恰好相距最近,已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为ω,引力常量为G,则
( )
A.卫星b加速一段时间后就可能追上卫星c
B.卫星b和c的线速度相等
C.到卫星a和b下一次相距最近,还需经过时间t=
D.卫星a减速一段时间后就可能追上卫星c
5.(2020·全国Ⅲ卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.
B.
C.
D.
6.科学家通过射电信号首次探测到奇特的时空涟漪,其被称为引力波,形成原因是来自中子星的双星系统。引力波的产生意味着中子星的双星系统能量在降低,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若该双星系统的总质量为m,经过一段时间演化后,两星做匀速圆周运动的周期变为原来的p倍。两星之间的距离变为原来的q倍,则演化后系统的总质量为
( )
A.m
B.m
C.m
D.m
7.(2020·随州高一检测)2019年12月20日,国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载CZ—4B火箭成功发射,双星顺利进入预定轨道,假设两个质量分别为m1和m2(m1>m2)的星体A和B组成一双星系统,二者中心之间的距离为L,运动的周期为T,万有引力常量为G,下列说法正确的是
( )
A.因为m1>m2,所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有引力
B.星体A做圆周运动的半径为L
C.星体B的线速度大小为
D.两星体的质量之和为
8.(多选)“鹊桥”号是世界首颗运行于地月拉格朗日L2点附近的中继通信卫星,如图它以地月连线为轴做圆周运动,同时随月球绕地球运转。已知地球质量为M,月球质量为m,月球的轨道半径为r,公转周期为T,引力常量为G;当卫星处于地月拉格朗日点L1或L2时,都能随月球同步绕地球做圆周运动。则以下说法正确的是
( )
A.“鹊桥”号中继通信卫星仅受月球引力作用
B.在L2点工作的卫星比在L1点工作的卫星的线速度大
C.在拉格朗日L1点工作的卫星,受到地球的引力一定大于月球对它的引力
D.拉格朗日L2点与地心的距离为
二、计算题
9.宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行,已知飞船运行的周期为T,行星的平均密度为ρ。试证明ρT2=k(引力常量G为已知,k是恒量)。
10.宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已知双星系统中星体A的质量为m,星体B的质量为2m,两星体相距为L,同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动,引力常量为G,求该双星系统运动的周期。
11.2021年,我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时,先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动,测得运动周期为T,之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后,以速度v竖直向上反弹,经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响,已知万有引力常量为G,求:
(1)火星表面的重力加速度g。
(2)火星的半径R与质量M。
